Sejam v1=(4,2,-3), v2=(2,1,-2) e v3=(-2,-1,0)
a) Os vetores v1, v2 e v3 são LI ou LD?

Passo 1

Beleza, amigo! Vamos resolver esse exercício sobre vetores. A questão pede para verificar se os vetores , e são Linearmente Independentes (LI) ou Linearmente Dependentes (LD). Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre independência linear de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa vetores serem Linearmente Independentes ou Dependentes. Vetores são Linearmente Independentes se nenhuma combinação linear deles resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes da combinação sejam zero. Caso contrário, são Linearmente Dependentes.

Passo 3

Para verificar isso, vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas:
A = 4 & 2 & -2 2 & 1 & -1 -3 & -2 & 0

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são LI; se for zero, são LD.

Passo 5

Vamos calcular o determinante de det(A) = 4 cdot 1 & -1 -2 & 0 - 2 cdot 2 & -1 -3 & 0 + (-2) cdot 2 & 1 -3 & -2 :
1 & -1 -2 & 0 = (1)(0) - (-1)(-2) = 0 - 2 = -2
Calculando cada menor:
2 & -1 -3 & 0 = (2)(0) - (-1)(-3) = 0 - 3 = -3
2 & 1 -3 & -2 = (2)(-2) - (1)(-3) = -4 + 3 = -1
det(A) = 4(-2) - 2(-3) + (-2)(-1) = -8 + 6 + 2 = 0
Substituindo de volta:

Passo 6

Como o determinante da matriz é zero, isso significa que os vetores são Linearmente Dependentes.

Resposta

Os vetores e são Linearmente Dependentes.

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