Em cada item, determine a forma em componentes do vetor
no espaço bidimensional que tenha o comprimento dado e faça o ângulo
dado com o eixo
positivo.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes
e
de um vetor
no plano bidimensional. A gente sabe que o vetor tem um comprimento (magnitude) de 3 e faz um ângulo de
radianos com o eixo
positivo. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria para decompor o vetor nas direções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser representado pelas suas componentes nas direções
e
. Se
é o comprimento do vetor e
é o ângulo que ele forma com o eixo
, então as componentes
e
podem ser encontradas usando as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente. A fórmula geral é:
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que a gente tem. O comprimento do vetor é 3, ou seja,
, e o ângulo é
. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular os valores dos cosseno e seno de
. Sabemos que:
Passo 5
Substituindo esses valores nas equações das componentes, temos:
Resposta
Portanto, a forma em componentes do vetor
é: