Em cada item, determine a forma em componentes do vetor v no espaço bidimensional que tenha o comprimento dado e faça o ângulo theta dado com o eixo x positivo.
a) |v|=3 ; theta=pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar as componentes e de um vetor no plano bidimensional. A gente sabe que o vetor tem um comprimento (magnitude) de 3 e faz um ângulo de radianos com o eixo positivo. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria para decompor o vetor nas direções e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer vetor no plano pode ser representado pelas suas componentes nas direções vx = |v| cdot cos(theta) e vy = |v| cdot sin(theta) . Se é o comprimento do vetor e é o ângulo que ele forma com o eixo , então as componentes e podem ser encontradas usando as funções trigonométricas cosseno e seno, respectivamente. A fórmula geral é:

Passo 3

Vamos aplicar essas fórmulas com os valores que a gente tem. O comprimento do vetor é 3, ou seja, vx = 3 cdot cos(pi4) , e o ângulo é vy = 3 cdot sin(pi4) . Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular os valores dos cosseno e seno de cos(pi4) = raiz22 . Sabemos que:
sin(pi4) = raiz22

Passo 5

Substituindo esses valores nas equações das componentes, temos:
vx = 3 cdot raiz22 = 3raiz22
vy = 3 cdot raiz22 = 3raiz22

Resposta

Portanto, a forma em componentes do vetor v = ( 3raiz22, 3raiz22 ) é:

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