Determine os vetores unitários que satisfaçam as condições dadas.
b) Sentido oposto a v=6 i-4 j+2 k.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente determinar os vetores unitários que têm sentido oposto ao vetor dado . Isso está dentro da matéria de Vetores na matemática, especificamente trabalhando com vetores unitários e direção oposta. Para resolver, vamos precisar entender o que é um vetor unitário e como encontrar a direção oposta de um vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor com magnitude igual a 1. Ou seja, ele tem apenas a direção e sentido do vetor original, mas com comprimento padrão de 1. Para encontrar um vetor unitário na direção de um vetor qualquer u = v|v| , usamos a fórmula:
onde é o módulo ou norma do vetor .

Passo 3

Agora, como queremos o vetor na direção oposta a voposto = -v = -6 i + 4 j - 2 k , precisamos inverter o sentido do vetor. Para fazer isso, multiplicamos o vetor original por :

Passo 4

Com o vetor na direção oposta em mãos, vamos calcular a sua magnitude para poder normalizá-lo e obter o vetor unitário desejado. A fórmula para calcular a magnitude de um vetor |v| = raiza^2 + b^2 + c^2 é:
|voposto| = raiz(-6)^2 + 4^2 + (-2)^2 = raiz36 + 16 + 4 = raiz56 = 2raiz14
Aplicando isso ao nosso vetor :

Passo 5

Agora que temos a magnitude, podemos encontrar o vetor unitário na direção oposta utilizando a fórmula da normalização:
uoposto = voposto|voposto| = -6 i + 4 j - 2 k2raiz14
Podemos simplificar essa fração dividindo cada componente por uoposto = ( -62raiz14 ) i + ( 42raiz14 ) j + ( -22raiz14 ) k = -3raiz14 i + 2raiz14 j - 1raiz14 k :

Resposta

O vetor unitário que tem sentido oposto a uoposto = -3raiz14 i + 2raiz14 j - 1raiz14 k é:

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