Em cada item, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos com concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão. Esboce o gráfico de função.


Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos três funções diferentes e determinar os intervalos onde elas crescem ou decrescem, seus máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas — a primeira para encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo e a segunda para entender a concavidade da função. Vamos lá!

Passo 2

Analisando a primeira função:
  1. Primeira Derivada :
  2. Encontrando os pontos críticos:
    Vamos resolver :
    Então, e .
  3. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
    • Para : Escolha
      → Crescente
    • Para : Escolha
      → Decrescente
    • Para : Escolha
      → Crescente
  4. Máximos e Mínimos Locais:
    • Em : Mudança de crescente para decrescente → Máximo local
    • Em : Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
  5. Segunda Derivada :
  6. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Encontrar onde :
    • Para : → Concavidade para baixo
    • Para : → Concavidade para cima
    • Portanto, em temos um ponto de inflexão

Passo 3

Analisando a segunda função:
  1. Primeira Derivada :
  2. Encontrando os pontos críticos:
    Vamos resolver :
    Então, e .
  3. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
    • Para : Escolha
      → Crescente
    • Para : Escolha
      → Decrescente
    • Para : Escolha
      → Crescente
  4. Máximos e Mínimos Locais:
    • Em : Mudança de crescente para decrescente → Máximo local
    • Em : Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
  5. Segunda Derivada :
  6. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Encontrar onde :
    • Para : → Concavidade para baixo
    • Para : → Concavidade para cima
    • Portanto, em temos um ponto de inflexão

Passo 4

Analisando a terceira função:
  1. Primeira Derivada :
  2. Encontrando os pontos críticos:
    Vamos resolver :
    Então, , , e .
  3. Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
    • Para : Escolha
      → Decrescente
    • Para : Escolha
      → Crescente
    • Para : Escolha
      → Decrescente
    • Para : Escolha
      → Crescente
  4. Máximos e Mínimos Locais:
    • Em : Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
    • Em : Mudança de crescente para decrescente → Máximo local
    • Em : Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
  5. Segunda Derivada :
  6. Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Encontrar onde :
    • Para : → Concavidade para baixo
    • Para : → Concavidade para cima
    • Portanto, em temos pontos de inflexão

Resposta

Função 1:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Concavidade para baixo:
  • Concavidade para cima:
  • Ponto de inflexão em
Função 2:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento:
  • Máximo local em
  • Mínimo local em
  • Concavidade para baixo:
  • Concavidade para cima:
  • Ponto de inflexão em
Função 3:
  • Crescimento: e
  • Decrescimento: e
  • Máximo local em
  • Mínimos locais em e
  • Concavidade para baixo:
  • Concavidade para cima:
  • Pontos de inflexão em

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