Em cada item, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos com concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão. Esboce o gráfico de função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisarmos três funções diferentes e determinar os intervalos onde elas crescem ou decrescem, seus máximos e mínimos locais, os intervalos de concavidade para cima e para baixo, além dos pontos de inflexão. Para isso, vamos precisar usar derivadas — a primeira para encontrar onde a função está aumentando ou diminuindo e a segunda para entender a concavidade da função. Vamos lá!
Passo 2
Analisando a primeira função:
-
Primeira Derivada
: -
Encontrando os pontos críticos:Vamos resolver
: Então,e . -
Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
-
Para
: Escolha → Crescente -
Para
: Escolha → Decrescente -
Para
: Escolha → Crescente
-
-
Máximos e Mínimos Locais:
- Em
: Mudança de crescente para decrescente → Máximo local - Em
: Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
- Em
-
Segunda Derivada
: -
Concavidade e Pontos de Inflexão:
-
Encontrar onde
: -
Para
: → Concavidade para baixo -
Para
: → Concavidade para cima -
Portanto, em
temos um ponto de inflexão
-
Passo 3
Analisando a segunda função:
-
Primeira Derivada
: -
Encontrando os pontos críticos:Vamos resolver
: Então,e . -
Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
-
Para
: Escolha → Crescente -
Para
: Escolha → Decrescente -
Para
: Escolha → Crescente
-
-
Máximos e Mínimos Locais:
- Em
: Mudança de crescente para decrescente → Máximo local - Em
: Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
- Em
-
Segunda Derivada
: -
Concavidade e Pontos de Inflexão:
-
Encontrar onde
: -
Para
: → Concavidade para baixo -
Para
: → Concavidade para cima -
Portanto, em
temos um ponto de inflexão
-
Passo 4
Analisando a terceira função:
-
Primeira Derivada
: -
Encontrando os pontos críticos:Vamos resolver
: Então,, , e . -
Determinação dos intervalos de crescimento e decrescimento:
-
Para
: Escolha → Decrescente -
Para
: Escolha → Crescente -
Para
: Escolha → Decrescente -
Para
: Escolha → Crescente
-
-
Máximos e Mínimos Locais:
- Em
: Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local - Em
: Mudança de crescente para decrescente → Máximo local - Em
: Mudança de decrescente para crescente → Mínimo local
- Em
-
Segunda Derivada
: -
Concavidade e Pontos de Inflexão:
-
Encontrar onde
: -
Para
: → Concavidade para baixo -
Para
: → Concavidade para cima -
Portanto, em
temos pontos de inflexão
-
Resposta
Função 1:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
- Ponto de inflexão em
Função 2:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
- Máximo local em
- Mínimo local em
- Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
- Ponto de inflexão em
Função 3:
- Crescimento:
e - Decrescimento:
e - Máximo local em
- Mínimos locais em
e - Concavidade para baixo:
- Concavidade para cima:
- Pontos de inflexão em