Use aproximação linear ou diferenciais, para estimar o valor de:
a) arctg(0.001)
b) ln(0,98)^2
c) arcsen(-0.1)
d) e^0,03
e) ln^2(1.01)
f) cos^2(-0.03)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício usando aproximação linear e diferenciais. A ideia aqui é estimar o valor de algumas funções quando o argumento está bem próximo de um ponto onde a gente sabe o valor exato. Para isso, vamos precisar conhecer a fórmula da aproximação linear, que é baseada na derivada da função no ponto de interesse. Vamos usar essa ferramenta para calcular cada um dos valores pedidos.

Passo 2

a) arctg(0.001)

Função: arctg(x)
Ponto de aproximação: x = 0 (porque 0,001 está bem perto de 0)
Passo a passo:
  1. Sabemos que .
  2. A derivada de arctg(x) é . Em x = 0, isso dá 1.
  3. Usando a aproximação linear:

Passo 3

b)

Função:
Ponto de aproximação: x = 1 (porque 0,98 está perto de 1)
Passo a passo:
  1. Calculamos .
  2. A derivada de f(x) é . Em x = 1, isso dá 0.
  3. Com a aproximação linear:

Passo 4

c) arcsen(-0.1)

Função: arcsen(x)
Ponto de aproximação: x = 0 (por ser perto de 0)
Passo a passo:
  1. Sabemos que .
  2. A derivada de arcsen(x) é . Em x = 0, isso dá 1.
  3. Usando a aproximação linear:

Passo 5

d) e^0,03

Função:
Ponto de aproximação: x = 0 (pois 0,03 está próximo de 0)
Passo a passo:
  1. Calculamos .
  2. A derivada de f(x) é e^x. Em x = 0, isso dá 1.
  3. Aproximação linear:

Passo 6

e)

Função:
Ponto de aproximação: x = 1
Passo a passo:
  1. Sabemos que .
  2. A derivada é . Em x = 1, isso dá 0.
  3. Aproximação linear:

Passo 7

f)

Função:
Ponto de aproximação: x = 0 (já que -0,03 está perto de 0)
Passo a passo:
  1. Calculamos .
  2. A derivada de f(x) é . Em x = 0, isso dá 0.
  3. Aproximação linear:

Resposta

a)
b)
c)
d)
e)
f)

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