Calcule os limites em cada item
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x}{x{2}} \quad i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sqrt{x}}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro envolve exponenciais e polinômios, e o segundo tem uma função com expoente que também depende de . Vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais e como lidar com expressões onde a base e o expoente variam. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
Aqui, a gente está tentando descobrir o que essa expressão se aproxima quando está perto de 0. Sabemos que pode ser expandido em uma série de Taylor:
Isso ajuda porque substituindo na expressão original, temos:
Então, ao dividir por , temos:
Quando se aproxima de 0, os termos com desaparecem, restando apenas .

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
Esse limite pode parecer complicado, mas vamos simplificar usando logaritmos. Vamos chamar o limite de :
Tirando o logaritmo dos dois lados:
Sabemos que vai para quando vai para 0, e vai para 0. Então, temos uma forma indeterminada . Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que dão formas como :
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Assim, , o que significa que .

Resposta

i)
ii)

Exercícios relacionados

Em cada item, determine os intervalos de crescimento e decrescimento, máximos e mínimos locais, intervalos com concavidade para cima e para baixo, pontos de inflexão. Esboce o gráfico de função.


Use aproximação linear ou diferenciais, para estimar o valor de:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Determine o diferencial da função quando varia de 1 a 1,01. Calcule o erro relativo percentual da aproximação com relação ao valor verdadeiro de .
$
Erro Relativo=\frac{Valor Aproximado-Valor Verdadeiro}{\mid Valor Verdadeiro \mid}
$
Determine o diferencial da função quando varia de 2,395 a 2,4. Calcule o erro relativo percentual da aproximação com relação ao valor verdadeiro de .