Calcule os limites em cada item
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x}{x{2}} \quad i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sqrt{x}}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro envolve exponenciais e polinômios, e o segundo tem uma função com expoente que também depende de . Vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais e como lidar com expressões onde a base e o expoente variam. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
limx to 0 e^x - 1 - xx^2
Aqui, a gente está tentando descobrir o que essa expressão se aproxima quando e^x = 1 + x + x^22 + x^36 + dots está perto de 0. Sabemos que e^x - 1 - x = x^22 + x^36 + dots pode ser expandido em uma série de Taylor:
e^x - 1 - xx^2 = x^22 + x^36 + dotsx^2 = 12 + x6 + dots
Isso ajuda porque substituindo na expressão original, temos:
Então, ao dividir por , temos:
Quando se aproxima de 0, os termos com desaparecem, restando apenas .

Passo 3

Agora, vamos para o segundo limite:
limx to 0^+ x^raizx
Esse limite pode parecer complicado, mas vamos simplificar usando logaritmos. Vamos chamar o limite de L = limx to 0^+ x^raizx :
ln L = limx to 0^+ raizx cdot ln x
Tirando o logaritmo dos dois lados:
ln L = limx to 0^+ ln x1/raizx
Sabemos que ddx (ln x) = 1x, ddx ( 1raizx ) = -12 x^-3/2 vai para ln L = limx to 0^+ 1x-12 x^-3/2 = limx to 0^+ -2 x^3/2x = limx to 0^+ -2 raizx = 0 quando vai para 0, e vai para 0. Então, temos uma forma indeterminada . Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que dão formas como :
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Assim, , o que significa que .

Resposta

i)
ii)

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