Calcule os limites em cada item
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x}{x{2}} \quad i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sqrt{x}}
$
$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e{x}-1-x}{x{2}} \quad i) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\sqrt{x}}
$
Passo 1
Beleza, vamos resolver dois limites aqui. O primeiro envolve exponenciais e polinômios, e o segundo tem uma função com expoente que também depende de
. Vamos precisar entender um pouco sobre limites, funções exponenciais e como lidar com expressões onde a base e o expoente variam. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro limite:
Aqui, a gente está tentando descobrir o que essa expressão se aproxima quando
está perto de 0. Sabemos que
pode ser expandido em uma série de Taylor:
Isso ajuda porque substituindo na expressão original, temos:
Então, ao dividir por
, temos:
Quando
se aproxima de 0, os termos com
desaparecem, restando apenas
.
Passo 3
Agora, vamos para o segundo limite:
Esse limite pode parecer complicado, mas vamos simplificar usando logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Tirando o logaritmo dos dois lados:
Sabemos que
vai para
quando
vai para 0, e
vai para 0. Então, temos uma forma indeterminada
. Para resolver isso, reescrevemos a expressão como:
Agora podemos aplicar a regra de L’Hôpital, que é útil para limites que dão formas como
:
Derivando o numerador e o denominador:
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite se torna:
Assim,
, o que significa que
.
Resposta
i)
ii)