Determine o diferencial da função quando varia de 1 a 1,01. Calcule o erro relativo percentual da aproximação com relação ao valor verdadeiro de .
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Erro Relativo=\frac{Valor Aproximado-Valor Verdadeiro}{\mid Valor Verdadeiro \mid}
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o diferencial da função quando muda de 1 para 1,01. Além disso, a gente precisa calcular o erro relativo percentual dessa aproximação em relação ao valor verdadeiro de .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com diferenciais e erros de aproximação. Vamos precisar usar derivadas para encontrar o diferencial e depois comparar esse valor com a mudança real da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar os cálculos. A função dada é:
Podemos reescrever isso usando propriedades dos logaritmos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada dessa função em relação a . A derivada nos dá a taxa de variação de em relação a , que é essencial para calcular o diferencial.
Passo 4
O diferencial é aproximado por:
Onde . Vamos calcular quando :
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular o valor verdadeiro de , que é a diferença entre quando e quando :
Primeiro, calculamos para :
Usando uma calculadora:
Então,
Agora, calculamos para :
Então,
Passo 6
Agora, vamos calcular o erro relativo percentual usando a fórmula dada: