Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para transformar a equação polar em uma equação cartesiana. Isso envolve entender como passar das coordenadas polares (r, θ) para as coordenadas cartesianas (x, y). Para isso, vamos precisar das fórmulas de conversão entre essas coordenadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das fórmulas que conectam as coordenadas polares com as cartesianas:
Essas fórmulas nos permitem substituir r e θ por expressões em termos de x e y.

Passo 3

Dada a equação polar , nosso objetivo é eliminar r e θ para obter uma equação somente em termos de x e y. Vamos começar multiplicando ambos os lados da equação por r:

Passo 4

Sabemos que e . Vamos substituir essas expressões na equação:
Agora, vamos reorganizar a equação para identificar melhor a curva:
Podemos completar o quadrado para simplificar ainda mais.

Passo 5

Completando o quadrado para o termo em y, adicionamos e subtraímos 1:
Essa é a equação de um círculo com centro em (0, 1) e raio 1.

Resposta

A equação cartesiana correspondente é:

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