Calcule a integral usando a substituição .
Determine a derivada de em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição para simplificar a integral. Vamos precisar definir uma nova variável para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: . Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de para torná-la mais simples de calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, calcular . Isso nos ajudará a substituir na integral original.

Passo 4

Calculando a derivada:
Então, .

Passo 5

Observando a integral original, temos . Notamos que parte desse termo, , já aparece na expressão de . Vamos reorganizar a integral para encaixar com nossa substituição.

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de e :
Sabemos que , então podemos isolar :
Substituindo na integral:

Passo 7

Simplificando a expressão:
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente para simplificar a integral.

Resposta

Para resolver a integral usando a substituição , começamos encontrando a derivada de em relação a :
Assim, .

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Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(e) .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Reverta a substituição para obter a resposta final.
Calcule a integral usando a substituição .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Resolva a integral aplicando a substituição .
Calcule a derivada de em relação a .