Calcule a integral
usando a substituição
.
Determine a derivada de
em relação a
.
Determine a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando substituição. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição para simplificar a integral. Vamos precisar definir uma nova variável
para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de
para torná-la mais simples de calcular.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja, calcular
. Isso nos ajudará a substituir
na integral original.
Passo 4
Calculando a derivada:
Então,
.
Passo 5
Observando a integral original, temos
. Notamos que parte desse termo,
, já aparece na expressão de
. Vamos reorganizar a integral para encaixar com nossa substituição.
Passo 6
Reescrevendo a integral em termos de
e
:
Sabemos que
, então podemos isolar
:
Substituindo na integral:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente para simplificar a integral.
Resposta
Para resolver a integral
usando a substituição
, começamos encontrando a derivada de
em relação a
:
Assim,
.
Exercícios relacionados
Em cada item, encontre uma equação cartesiana para a curva representada pela equação polar dada.
(e) .
(e)
Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Reverta a substituição para obter a resposta final.
Reverta a substituição para obter a resposta final.
Calcule a integral
usando a substituição
.
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de .
Reverta a substituição para expressar a resposta em termos de
Resolva a integral
aplicando a substituição
.
Calcule a derivada de em relação a
.
Calcule a derivada de