Calcule a integral integral(3 x^2+2 x) raizx^3+x d x usando a substituição u=x^3+x.
Determine a derivada de u em relação a x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(3 x^2+2 x) raizx^3+x , dx usando substituição. Esse exercício envolve cálculo de integrais, especificamente a técnica de substituição para simplificar a integral. Vamos precisar definir uma nova variável u para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: u = x^3 + x. Isso significa que vamos reescrever a integral em termos de u para torná-la mais simples de calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x, ou seja, calcular dudx. Isso nos ajudará a substituir dx na integral original.

Passo 4

Calculando a derivada:
dudx = ddx(x^3 + x) = 3x^2 + 1
Então, du = (3x^2 + 1) , dx.

Passo 5

Observando a integral original, temos (3x^2 + 2x) raizx^3 + x , dx. Notamos que parte desse termo, 3x^2, já aparece na expressão de du. Vamos reorganizar a integral para encaixar com nossa substituição.

Passo 6

Reescrevendo a integral em termos de u e du:
integral (3x^2 + 2x) raizu , dx
Sabemos que du = (3x^2 + 1) , dx, então podemos isolar dx:
dx = du3x^2 + 1
Substituindo na integral:
integral (3x^2 + 2x) raizu cdot du3x^2 + 1

Passo 7

Simplificando a expressão:
integral (3x^2 + 2x)3x^2 + 1 raizu , du
Isso ainda parece complicado, então vamos tentar uma abordagem diferente para simplificar a integral.

Resposta

Para resolver a integral integral(3 x^2+2 x) raizx^3+x , dx usando a substituição u = x^3 + x, começamos encontrando a derivada de u em relação a x:
dudx = 3x^2 + 1
Assim, du = (3x^2 + 1) , dx.

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