Calcule a área da região limitada pelos gráficos de
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos de
e
. A gente vai usar conceitos de área entre curvas, que envolve calcular a integral das funções onde elas se cruzam. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram para saber os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções
e
. Isso significa resolver a equação
.
Passo 3
Para resolver
, vamos primeiro eliminar a raiz quadrada. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação
para trazer tudo para um lado:
Passo 5
Fatorando
da equação
:
Passo 6
Isso nos dá duas soluções:
-
-
→ →
Vamos calcular
:
Então, os pontos de interseção são aproximadamente
e
.
Passo 7
Agora que temos os limites de integração, vamos determinar qual função está em cima e qual está embaixo nesse intervalo. Para isso, podemos testar um valor entre 0 e 0.55, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 8
A fórmula para a área entre duas curvas de
a
quando
está acima de
é:
No nosso caso:
Passo 9
Vamos calcular a integral:
Passo 10
Agora, avaliamos a integral de 0 a 0.55:
Passo 11
Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Resposta
A área da região limitada pelos gráficos de
e
é aproximadamente 0.05334 unidades quadradas.