Calcule a área da região limitada pelos gráficos de y = x^2 e y = raiz(x) * 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região limitada pelos gráficos de e . A gente vai usar conceitos de área entre curvas, que envolve calcular a integral das funções onde elas se cruzam. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas funções se encontram para saber os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das funções e . Isso significa resolver a equação .

Passo 3

Para resolver , vamos primeiro eliminar a raiz quadrada. Vamos elevar ambos os lados ao quadrado:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para trazer tudo para um lado:

Passo 5

Fatorando da equação :

Passo 6

Isso nos dá duas soluções:
Vamos calcular :
Então, os pontos de interseção são aproximadamente e .

Passo 7

Agora que temos os limites de integração, vamos determinar qual função está em cima e qual está embaixo nesse intervalo. Para isso, podemos testar um valor entre 0 e 0.55, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 8

A fórmula para a área entre duas curvas de a quando está acima de é:
Á
No nosso caso:
Á

Passo 9

Vamos calcular a integral:

Passo 10

Agora, avaliamos a integral de 0 a 0.55:
Á

Passo 11

Calculando os valores numéricos:
Substituindo:
Á

Resposta

A área da região limitada pelos gráficos de e é aproximadamente 0.05334 unidades quadradas.

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