Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é normal a .
(d) e .
Passo 1
Então, a gente tem o ponto e o vetor normal . A gente quer encontrar as equações geral, vetorial e paramétricas do plano que passa por e é perpendicular a . Para isso, vamos precisar lembrar que a equação geral de um plano pode ser escrita usando o vetor normal e as coordenadas do ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação geral do plano. A equação geral de um plano é dada por:
onde é o ponto e são as componentes do vetor normal .
Substituindo os valores, temos:
Simplificando:
Portanto, a equação geral do plano é .
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação vetorial do plano. A equação vetorial de um plano é dada por:
onde é o vetor posição de , e e são vetores diretores que pertencem ao plano.
Como o plano é paralelo ao eixo e ao eixo (porque o vetor normal é na direção ), podemos escolher e .
Então:
Passo 4
Por fim, vamos determinar as equações paramétricas do plano. A partir da equação vetorial, podemos escrever cada componente separadamente:
onde e são os parâmetros que variam livremente.
Resposta
A equação geral do plano é , a equação vetorial é , e as equações paramétricas são: