Determine : Im(cotg(g))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a parte imaginária de . Aqui, estamos trabalhando com trigonometria envolvendo números complexos. Para isso, vamos precisar entender as funções trigonométricas no contexto dos números complexos e como extrair a parte imaginária de uma função complexa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de é definida como:
Como estamos lidando com números complexos, podemos expressar como , onde e são números reais. Mas, para facilitar, vamos trabalhar diretamente com a definição de .

Passo 3

Vamos expressar e usando as fórmulas de Euler para números complexos:

Passo 4

Substituindo essas expressões na definição de :

Passo 5

Agora, simplificamos a expressão:

Passo 6

Para extrair a parte imaginária, vamos reescrever a fração utilizando :

Passo 7

Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 8

Para dividir os complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:

Passo 9

Calculando o numerador:

Passo 10

Calculando o denominador:

Passo 11

Agora, substituindo numerador e denominador na expressão de :

Passo 12

Simplificando a expressão:

Resposta

A parte imaginária de é igual a zero:

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