Determine :
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a parte imaginária de
. Aqui, estamos trabalhando com trigonometria envolvendo números complexos. Para isso, vamos precisar entender as funções trigonométricas no contexto dos números complexos e como extrair a parte imaginária de uma função complexa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a cotangente de
é definida como:
Como estamos lidando com números complexos, podemos expressar
como
, onde
e
são números reais. Mas, para facilitar, vamos trabalhar diretamente com a definição de
.
Passo 3
Vamos expressar
e
usando as fórmulas de Euler para números complexos:
Passo 4
Substituindo essas expressões na definição de
:
Passo 5
Agora, simplificamos a expressão:
Passo 6
Para extrair a parte imaginária, vamos reescrever a fração utilizando
:
Passo 7
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 8
Para dividir os complexos, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Passo 9
Calculando o numerador:
Passo 10
Calculando o denominador:
Passo 11
Agora, substituindo numerador e denominador na expressão de
:
Passo 12
Simplificando a expressão:
Resposta
A parte imaginária de
é igual a zero: