Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(d)
.
(d)
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de um plano, que é
. Nosso objetivo é encontrar dois elementos importantes desse plano: um vetor normal e um ponto que pertence a ele.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados à equação geral do plano e como identificar o vetor normal e um ponto no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano. A equação geral de um plano pode ser escrita na forma:
Nessa equação, o vetor
é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação dada é:
Para facilitar a identificação dos coeficientes, vamos multiplicar todos os termos por 12 (o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4) para eliminar os denominadores:
Agora, comparando com a forma geral
, temos:
Portanto, o vetor normal é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar um ponto que pertence ao plano. Para isso, podemos escolher valores para duas das coordenadas e resolver para a terceira, garantindo que a equação seja satisfeita.
Vamos escolher
e
. Substituindo esses valores na equação do plano:
Com isso, temos as coordenadas do ponto:
Esse ponto está no plano, pois satisfaz a equação dada.
Resposta
O vetor normal ao plano é
e um ponto que pertence ao plano é
.