Em cada item, encontre um vetor normal e um ponto que pertence ao plano dado.
(d) x/2 + y/3 + z/4 = 1.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação de um plano, que é . Nosso objetivo é encontrar dois elementos importantes desse plano: um vetor normal e um ponto que pertence a ele.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente relacionados à equação geral do plano e como identificar o vetor normal e um ponto no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor normal ao plano. A equação geral de um plano pode ser escrita na forma:
Nessa equação, o vetor é o vetor normal ao plano. No nosso caso, a equação dada é:
Para facilitar a identificação dos coeficientes, vamos multiplicar todos os termos por 12 (o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 4) para eliminar os denominadores:
Agora, comparando com a forma geral , temos:
Portanto, o vetor normal é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar um ponto que pertence ao plano. Para isso, podemos escolher valores para duas das coordenadas e resolver para a terceira, garantindo que a equação seja satisfeita.
Vamos escolher e . Substituindo esses valores na equação do plano:
Com isso, temos as coordenadas do ponto:
Esse ponto está no plano, pois satisfaz a equação dada.

Resposta

O vetor normal ao plano é e um ponto que pertence ao plano é .

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