Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por e é paralelo a e .
(a) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar as equações geral, vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, para encontrar a equação geral do plano, a gente precisa de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular a ambos os vetores paralelos ao plano, ou seja, e . Para encontrar esse vetor normal, usamos o produto vetorial entre e .
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é .
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor normal .
Passo 5
Substituindo os valores:
Distribuindo:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 para deixar a equação mais comum:
Então, a equação geral do plano é .
Passo 6
Agora, vamos para a equação vetorial do plano. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores:
Passo 7
Por fim, vamos escrever as equações paramétricas do plano. A gente separa cada componente da equação vetorial: