Em cada item, encontre equações geral, vetorial e paramétricas para o plano que passa por A e é paralelo a v1 e v2.
(a) A = (-1, 2, 1), v1 = (-1, 2, 3) e v2 = (0, 1, 1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa achar as equações geral, vetorial e paramétrica de um plano que passa pelo ponto e é paralelo aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e planos no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, para encontrar a equação geral do plano, a gente precisa de um vetor normal ao plano. Esse vetor normal é perpendicular a ambos os vetores paralelos ao plano, ou seja, e . Para encontrar esse vetor normal, usamos o produto vetorial entre e .

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor normal é .

Passo 4

Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação geral do plano usando a fórmula:
Onde são as coordenadas do ponto e são as componentes do vetor normal .

Passo 5

Substituindo os valores:
Distribuindo:
Simplificando:
Ou, multiplicando por -1 para deixar a equação mais comum:
Então, a equação geral do plano é .

Passo 6

Agora, vamos para a equação vetorial do plano. Sabemos que qualquer ponto no plano pode ser escrito como:
Onde e são parâmetros reais. Substituindo os valores:

Passo 7

Por fim, vamos escrever as equações paramétricas do plano. A gente separa cada componente da equação vetorial:

Resposta

As equações do plano são:
  • Equação Geral:
  • Equação Vetorial: , onde
  • Equações Paramétricas:

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