Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçarmos a região do plano onde os pontos satisfazem a condição
. Isso está relacionado à geometria no plano, especificamente usando coordenadas polares. Para resolver, vamos entender o que significa
e como utilizar isso para desenhar a região.
Passo 2
Primeiro, vamos esclarecer o que é
nas coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é definido por dois valores:
e
. Aqui,
é a distância do ponto até a origem (0,0), e
é o ângulo que o raio faz com o eixo positivo
.
Passo 3
A condição dada é
. Isso significa que estamos interessados em todos os pontos cuja distância da origem seja pelo menos 1 e no máximo 3. Em outras palavras, queremos a região que está entre duas circunferências: uma com raio 1 e outra com raio 3.
Passo 4
Para esboçar essa região, vamos desenhar duas circunferências concêntricas (com o mesmo centro na origem). A primeira circunferência tem raio
e a segunda tem raio
. A região que nos interessa é o “anel” ou “anelar” que fica entre essas duas circunferências.
Passo 5
No plano cartesiano, mesmo que estejamos usando coordenadas polares, o esboço fica semelhante. Desenhe dois círculos com o mesmo centro: um menor (raio 1) e um maior (raio 3). A área sombreada entre eles representa todos os pontos que satisfazem
.
Resposta
A região do plano que satisfaz
é o anel formado pelas circunferências de raio 1 e raio 3, ou seja, todos os pontos cuja distância até a origem está entre 1 e 3 unidades.
Exercícios relacionados
Considere a função
.
a) Determine o domínio de f.
a) Determine o domínio de f.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
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Encontre o limite, se ele existir, ou mostre que o seguinte limite não existe:
Indique a ordem de cada uma das equações diferenciais e determine quais são lineares: