Encontre o limite, se ele existir, ou mostre que o seguinte limite não existe:
lim (x, y) (0,0)(x y cos x4 x^2+y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função
lim (x, y) (0,0)(x y cos x4 x^2+y)
quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de de diferentes maneiras e ver se conseguimos determinar o limite ou mostrar que ele não existe.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender melhor. Sabemos que o cosseno de cos x approx 1 , x y cos x4 x^2+y approx x y4 x^2+y , pode ser aproximado por quando está perto de , pois . Então, para valores pequenos de , temos:
Substituindo isso na função, temos uma aproximação:

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite simplificado:
lim (x, y) (0,0)(x y4 x^2+y)
Para encontrar esse limite, uma técnica comum é abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 4

Vamos primeiro aproximar x cdot 04 x^2 + 0 = 0 ao longo do eixo , ou seja, fixar :
Então, ao longo do eixo , o limite é .

Passo 5

Agora, vamos aproximar ao longo do eixo 0 cdot y4 cdot 0^2 + y = 0 , fixando :
Novamente, o limite é ao longo do eixo .

Passo 6

Vamos tentar um caminho mais geral, como x cdot k x^24 x^2 + k x^2 = k x^3x^2(4 + k) = k x4 + k , onde limx 0 k x4 + k = 0 é uma constante. Substituindo na função:
Agora, ao fazer , temos:

Passo 7

Como testamos diferentes caminhos (ao longo dos eixos e uma curva parabólica) e em todos eles o limite foi , podemos conjecturar que o limite geral seja . Para confirmar, podemos usar uma desigualdade para estimar o valor absoluto da função.

Passo 8

Vamos considerar o valor absoluto da função:
|x y cos x4 x^2+y| <= |x y| cdot |cos x||4 x^2+y|
Sabemos que <= |x y||4 x^2+y| , então:
Agora, para próximo de , está próximo de , mas o numerador tende a mais rápido, garantindo que o limite da função seja .

Resposta

O limite é igual a .

Exercícios relacionados

Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
1 <= r <= 3.
Considere a função f(x) = 6 - 4 - 2 + x^2 + y^2.
a) Determine o domínio de f.
Indique a ordem de cada uma das equações diferenciais e determine quais são lineares: 2 x y'' + x^2 y' - sen(x) y = 2
Indique a ordem de cada uma das equações diferenciais e determine quais são lineares: y y''' + x y' + y = x^2