Encontre o limite, se ele existir, ou mostre que o seguinte limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o limite da função
quando se aproxima de . Estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, um tópico de cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos analisar o comportamento da função à medida que se aproxima de de diferentes maneiras e ver se conseguimos determinar o limite ou mostrar que ele não existe.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para entender melhor. Sabemos que o cosseno de , , pode ser aproximado por quando está perto de , pois . Então, para valores pequenos de , temos:
Substituindo isso na função, temos uma aproximação:
Passo 3
Agora, vamos analisar o limite simplificado:
Para encontrar esse limite, uma técnica comum é abordar o ponto por diferentes caminhos e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 4
Vamos primeiro aproximar ao longo do eixo , ou seja, fixar :
Então, ao longo do eixo , o limite é .
Passo 5
Agora, vamos aproximar ao longo do eixo , fixando :
Novamente, o limite é ao longo do eixo .
Passo 6
Vamos tentar um caminho mais geral, como , onde é uma constante. Substituindo na função:
Agora, ao fazer , temos:
Passo 7
Como testamos diferentes caminhos (ao longo dos eixos e uma curva parabólica) e em todos eles o limite foi , podemos conjecturar que o limite geral seja . Para confirmar, podemos usar uma desigualdade para estimar o valor absoluto da função.
Passo 8
Vamos considerar o valor absoluto da função:
Sabemos que <= |x y||4 x^2+y| , então:
Agora, para próximo de , está próximo de , mas o numerador tende a mais rápido, garantindo que o limite da função seja .