Em cada item, escreva equações simétricas da reta que passa pelos pontos dados.
P(-4,1,-1), Q(3,-5,-5).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações simétricas de uma reta que passa por dois pontos no espaço: e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, especificamente sobre como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta, que é basicamente a direção em que a reta está apontando. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas dos pontos v = Q - P = (3 - (-4), -5 - 1, -5 - (-1)) = (7, -6, -4) e . Vamos calcular:
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Com o vetor diretor em mãos, podemos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada da reta em função de um parâmetro, geralmente representado por x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t . A forma geral é:
x = -4 + 7t y = 1 - 6t z = -1 - 4t
Onde é um ponto pela qual a reta passa (pode ser ou ) e são as componentes do vetor diretor.
Vamos usar o ponto :

Passo 4

Agora, queremos as equações simétricas da reta. Para isso, resolvemos cada uma das equações paramétricas em relação a x + 47 = y - 1-6 = z + 1-4 e igualamos entre si:
Essas são as equações simétricas da reta que passa pelos pontos e .

Resposta

As equações simétricas da reta que passa pelos pontos x + 47 = y - 1-6 = z + 1-4 e são:

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-3 D D
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