Determinar a distância entre o ponto P e a reta r nos seguintes casos
b) P=(2,1,-3) e r:X=(1,1,1)+(2,1,-3) t R: 1,73

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de geometria analítica! A gente precisa encontrar a distância entre o ponto e a reta definida por . Vamos usar conceitos de vetores e fórmulas de distância para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta . A equação paramétrica da reta é , então, para , temos o ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor que vai de até . Esse vetor é dado por .

Passo 4

A direção da reta é dada pelo vetor diretor .

Passo 5

Para achar a distância entre o ponto e a reta, usamos a fórmula:
d = ||AP times d||||d||
Aqui, representa o produto vetorial e é a norma do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AP times d = i & j & k 1 & 0 & -4 2 & 1 & -3 = i(0 cdot (-3) - (-4) cdot 1) - j(1 cdot (-3) - (-4) cdot 2) + k(1 cdot 1 - 0 cdot 2) :
= i(0 + 4) - j(-3 + 8) + k(1 - 0) = 4i -5j +1k = (4,-5,1)

Passo 7

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
||AP times d|| = raiz4^2 + (-5)^2 + 1^2 = raiz16 + 25 + 1 = raiz42

Passo 8

Também precisamos da norma do vetor diretor ||d|| = raiz2^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = raiz42raiz14 = raiz42raiz14 = raiz4214 = raiz3 approx 1,73

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é aproximadamente unidades.

Exercícios relacionados

Escreva as equações reduzidas em relação a variável x da reta que passa pelos pontos P(-3,-1,2), Q(4,4,-1).
Defina um vetor (escreva tudo que souber que tem relação com a definição de vetor) .
Em cada item, escreva equações simétricas da reta que passa pelos pontos dados.
P(-4,1,-1), Q(3,-5,-5).
Sejam A=(2,5), B=(10, 12), C=(0,-9), D=(-4,-8). Encontre os vetores:
-3 D D