Em cada item, faça o que se pede: $(b) (20 pontos) Calcule a reta tangente à curva
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a reta tangente à curva definida pela equação
no ponto
. Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, mais precisamente diferenciação implícita e equação da reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função
em relação a
no ponto dado e, com isso, determinar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação da curva para encontrar
. A diferenciação implícita é útil quando
está definida de forma implícita em relação a
, ou seja, não está isolada.
A equação dada é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada termo:
- Derivada de
: Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . - Derivada de
: É uma função simples de . A derivada é . - Derivada de
: Aqui temos um produto de duas funções de ( e ), então usamos a regra do produto:
Substituindo essas derivadas na equação:
Passo 4
Agora, vamos isolar
. Vamos reunir os termos que contêm
de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando
no lado esquerdo:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Agora que temos uma expressão para
, vamos calcular o valor dessa derivada no ponto
:
Substituindo
e
:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Calcule
em cada caso: $(b) (10 pontos)
Uma caixa d
Considere a função
. $(b) (6 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Considere a função
. $(g) (4 pontos) Sabendo que
, determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo.