Em cada item, faça o que se pede: $(b) (20 pontos) Calcule a reta tangente à curva no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a reta tangente à curva definida pela equação no ponto . Vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, mais precisamente diferenciação implícita e equação da reta tangente. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função em relação a no ponto dado e, com isso, determinar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a diferenciação implícita na equação da curva para encontrar . A diferenciação implícita é útil quando está definida de forma implícita em relação a , ou seja, não está isolada.
A equação dada é:
Vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de : Usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .
  2. Derivada de : É uma função simples de . A derivada é .
  3. Derivada de : Aqui temos um produto de duas funções de ( e ), então usamos a regra do produto:
Substituindo essas derivadas na equação:

Passo 4

Agora, vamos isolar . Vamos reunir os termos que contêm de um lado e os demais termos do outro:
Fatorando no lado esquerdo:
Agora, isolamos :

Passo 5

Agora que temos uma expressão para , vamos calcular o valor dessa derivada no ponto :
Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 6

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo e :
Simplificando:

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é:

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