Considere a função . $(b) (6 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos descobrir suas assíntotas horizontais e verticais. Para isso, precisamos revisar o que são assíntotas:
  • Assíntota Vertical: É uma reta vertical que a função se aproxima, mas nunca toca, geralmente ocorrendo onde o denominador da função se torna zero.
  • Assíntota Horizontal: É uma reta horizontal que a função se aproxima à medida que tende ao infinito ou menos infinito.

Passo 2

Vamos começar determinando as assíntotas verticais. Para isso, identificamos os valores de que fazem o denominador ser zero, pois nesses pontos a função pode se tornar indefinida.
O denominador da nossa função é . Vamos encontrar quando ele é zero:
Então, é um candidato para assíntota vertical. Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesse ponto. Se o numerador não for zero quando , então teremos uma assíntota vertical.
Substituindo no numerador:
Como o numerador não é zero quando , temos uma assíntota vertical em:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador : 2
  • Grau do denominador : 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes líderes (os números que acompanham o maior grau de em cada polinômio).
No nosso caso, ambos os coeficientes líderes são 1. Portanto, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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