Considere a função
. $(b) (6 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e queremos descobrir suas assíntotas horizontais e verticais. Para isso, precisamos revisar o que são assíntotas:
-
Assíntota Vertical: É uma reta vertical que a função se aproxima, mas nunca toca, geralmente ocorrendo onde o denominador da função se torna zero.
-
Assíntota Horizontal: É uma reta horizontal que a função se aproxima à medida que
tende ao infinito ou menos infinito.
Passo 2
Vamos começar determinando as assíntotas verticais. Para isso, identificamos os valores de
que fazem o denominador ser zero, pois nesses pontos a função pode se tornar indefinida.
O denominador da nossa função é
. Vamos encontrar quando ele é zero:
Então,
é um candidato para assíntota vertical. Agora, precisamos verificar se o numerador também é zero nesse ponto. Se o numerador não for zero quando
, então teremos uma assíntota vertical.
Substituindo
no numerador:
Como o numerador não é zero quando
, temos uma assíntota vertical em:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Para funções racionais, comparamos os graus do polinômio do numerador e do denominador.
- Grau do numerador
: 2 - Grau do denominador
: 2
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o quociente dos coeficientes líderes (os números que acompanham o maior grau de
em cada polinômio).
No nosso caso, ambos os coeficientes líderes são 1. Portanto, a assíntota horizontal é:
Resposta
A função possui uma assíntota vertical em
e uma assíntota horizontal em
.
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Em cada item, faça o que se pede: $(b) (20 pontos) Calcule a reta tangente à curva
no ponto
.
Calcule
em cada caso: $(b) (10 pontos)
Considere a função
. $(g) (4 pontos) Sabendo que
, determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo.
Considere a função
.
(4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).