Considere a função . $(g) (4 pontos) Sabendo que , determine os intervalos onde o gráfico de é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico de é côncavo para baixo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e a segunda derivada . O objetivo é determinar em quais intervalos o gráfico de é côncavo para cima e para baixo. Para isso, vamos usar o conceito de concavidade, que depende do sinal da segunda derivada da função.

Passo 2

A concavidade de uma função está relacionada com o sinal da sua segunda derivada:
  • Côncavo para cima: quando
  • Côncavo para baixo: quando
Vamos analisar o sinal de em diferentes intervalos de .

Passo 3

Primeiro, observe que o denominador é sempre positivo para qualquer diferente de zero, já que qualquer número elevado a uma potência par resulta em um valor positivo. Portanto, o sinal de depende apenas do numerador .

Passo 4

Vamos analisar o sinal do numerador :
  • Quando : Isso ocorre quando . Nesse caso, é positivo, então .
  • Quando : Isso ocorre quando . Nesse caso, é negativo, então .

Passo 5

Considerando que (já que o denominador não pode ser zero), temos dois intervalos principais para analisar:
  1. Intervalo :
    • Aqui, , então → côncavo para baixo.
  2. Intervalo :
    • Também, , então → côncavo para baixo.
  3. Intervalo :
    • Aqui, , então → côncavo para cima.

Resposta

O gráfico de é côncavo para baixo nos intervalos e , e côncavo para cima no intervalo .

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Considere a função . $(b) (6 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Em cada item, faça o que se pede: $(b) (20 pontos) Calcule a reta tangente à curva no ponto .
Considere a função . (4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)