Considere a função
. $(g) (4 pontos) Sabendo que
, determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e a segunda derivada
. O objetivo é determinar em quais intervalos o gráfico de
é côncavo para cima e para baixo. Para isso, vamos usar o conceito de concavidade, que depende do sinal da segunda derivada da função.
Passo 2
A concavidade de uma função está relacionada com o sinal da sua segunda derivada:
- Côncavo para cima: quando
- Côncavo para baixo: quando
Vamos analisar o sinal de
em diferentes intervalos de
.
Passo 3
Primeiro, observe que o denominador
é sempre positivo para qualquer
diferente de zero, já que qualquer número elevado a uma potência par resulta em um valor positivo. Portanto, o sinal de
depende apenas do numerador
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal do numerador
:
- Quando
: Isso ocorre quando . Nesse caso, é positivo, então . - Quando
: Isso ocorre quando . Nesse caso, é negativo, então .
Passo 5
Considerando que
(já que o denominador não pode ser zero), temos dois intervalos principais para analisar:
-
Intervalo
: - Aqui,
, então → côncavo para baixo.
- Aqui,
-
Intervalo
: - Também,
, então → côncavo para baixo.
- Também,
-
Intervalo
: - Aqui,
, então → côncavo para cima.
- Aqui,
Resposta
O gráfico de
é côncavo para baixo nos intervalos
e
, e côncavo para cima no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. $(b) (6 pontos) Determine as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Em cada item, faça o que se pede: $(b) (20 pontos) Calcule a reta tangente à curva
no ponto
.
Considere a função
.
(4 pontos) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) e identifique-o(s) (máximo ou mínimo?).
Explique o significado de cada uma das notações a seguir.
(a)
(b)
(a)
(b)