Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se a Transformada de Laplace da multiplicação de duas funções, , é igual ao produto das Transformadas de Laplace de cada função individualmente, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a Transformada de Laplace e algumas de suas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. A Transformada de Laplace de uma função , denotada por , é uma ferramenta utilizada para converter funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. A fórmula é:
Essa transformação é muito útil em resolver equações diferenciais e na análise de sistemas.

Passo 3

Agora, vamos considerar a propriedade da Transformada de Laplace em relação ao produto de duas funções. A afirmação na questão sugere que:
No entanto, isso não é verdade na generalidade. A Transformada de Laplace da multiplicaç��o de duas funções não é simplesmente o produto de suas Transformadas. Em vez disso, existe uma propriedade chamada de Convolução, que relaciona a Transformada de Laplace do produto com a convolução das Transformadas individuais. A convolução é definida como:
E a propriedade da convolução para a Transformada de Laplace é:
Perceba que na convolução, não estamos apenas multiplicando e diretamente, mas integrando o produto de uma função com o retardo da outra.

Passo 4

Com base nisso, podemos concluir que a afirmativa da questão está incorreta. A Transformada de Laplace da multiplicação direta de duas funções não é igual ao produto das Transformadas de Laplace de cada função individualmente. A igualdade válida envolve a convolução das funções no domínio do tempo, e não a simples multiplicação.

Resposta

Falso.

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d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral da equação converge para a origem quando .
Seja a matriz e considere o sistema . Escolher um no intervalo , encontre a solução geral e calcule o limite quando . Dica: encontrar os autovalores em função de .
Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. é a circunferência
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
c) (1,5 ponto) A convolução é um produto.