Seja a matriz
e considere o sistema
. Escolher um
no intervalo
, encontre a solução geral
e calcule o limite quando
. Dica: encontrar os autovalores em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz
e um sistema de equações diferenciais da forma
. O objetivo é, escolhendo um valor de
entre 0 e 1, encontrar a solução geral
desse sistema e calcular o limite dessa solução quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, sistemas lineares, autovalores (ou valores próprios) e como eles influenciam a solução do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para resolver um sistema linear
, uma das abordagens é encontrar os autovalores da matriz
. Os autovalores nos ajudam a determinar a natureza da solução do sistema. Então, vamos começar encontrando esses autovalores.
Passo 3
Os autovalores
de uma matriz
são encontrados resolvendo a equação característica:
, onde
é a matriz identidade. Vamos calcular isso para nossa matriz
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Essa é a nossa equação característica.
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os nossos autovalores são
e
.
Passo 7
Como
está entre 0 e 1,
também estará entre 0 e 1. Portanto, ambos os autovalores
e
são reais e negativos. Isso significa que a solução geral do sistema será uma combinação linear de termos exponenciais decrescentes.
Passo 8
A solução geral do sistema
pode ser escrita como:
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais, e
e
são os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 9
Embora o enunciado não peça para encontrar explicitamente os autovetores, sabemos que como ambos os autovalores são negativos, os termos
e
tendem a zero quando
vai para o infinito. Ou seja, independentemente dos autovetores e das constantes
e
, a solução geral
vai tender a zero.
Resposta
A solução geral do sistema é uma combinação linear de
e
multiplicados por seus respectivos autovetores. Além disso, quando
tende ao infinito,
tende a zero.
Exercícios relacionados
Resolver o seguinte problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace:
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral
da equação
converge para a origem quando
.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .
a) (1,5 ponto)