Seja a matriz e considere o sistema . Escolher um no intervalo , encontre a solução geral e calcule o limite quando . Dica: encontrar os autovalores em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma matriz e um sistema de equações diferenciais da forma . O objetivo é, escolhendo um valor de entre 0 e 1, encontrar a solução geral desse sistema e calcular o limite dessa solução quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, sistemas lineares, autovalores (ou valores próprios) e como eles influenciam a solução do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para resolver um sistema linear , uma das abordagens é encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores nos ajudam a determinar a natureza da solução do sistema. Então, vamos começar encontrando esses autovalores.

Passo 3

Os autovalores de uma matriz são encontrados resolvendo a equação característica: , onde é a matriz identidade. Vamos calcular isso para nossa matriz :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:

Passo 5

Expandindo a expressão:
Essa é a nossa equação característica.

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os nossos autovalores são e .

Passo 7

Como está entre 0 e 1, também estará entre 0 e 1. Portanto, ambos os autovalores e são reais e negativos. Isso significa que a solução geral do sistema será uma combinação linear de termos exponenciais decrescentes.

Passo 8

A solução geral do sistema pode ser escrita como:
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais, e e são os autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 9

Embora o enunciado não peça para encontrar explicitamente os autovetores, sabemos que como ambos os autovalores são negativos, os termos e tendem a zero quando vai para o infinito. Ou seja, independentemente dos autovetores e das constantes e , a solução geral vai tender a zero.

Resposta

A solução geral do sistema é uma combinação linear de e multiplicados por seus respectivos autovetores. Além disso, quando tende ao infinito, tende a zero.

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Resolver o seguinte problema de valor inicial (PVI) usando a transformada de Laplace:
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral da equação converge para a origem quando .
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .