Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a circunferência
Passo 1
Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma circunferência
definida por
e
. Vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta essa integral de linha com uma integral de superfície envolvendo a rotacional de
. Para isso, vamos precisar calcular a rotacional de
e escolher uma superfície adequada cuja borda seja
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a rotacional de
, que é dado por:
Vamos calcular cada componente passo a passo.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
-
Para a componente
: -
-
- Então, a componente
fica:
-
-
Para a componente
: -
-
- Então, a componente
fica:
-
-
Para a componente
: -
-
- Então, a componente
fica:
-
Portanto, a rotacional de
é:
Passo 4
Agora, vamos escolher uma superfície
cuja borda seja a circunferência
. Como
está no plano
, a gente pode escolher
como o disco
, também no plano
. A orientação de
é anti-horária vista de cima, então o vetor normal à superfície
será na direção positiva de
.
Passo 5
Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Aqui,
é o vetor normal unitário à superfície
. Como
está no plano
,
.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar
:
Então, a integral de superfície fica:
Como
em toda a superfície
, a integral simplifica para:
Passo 7
A área do disco
com raio
(já que
) é:
Portanto,
Resposta
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Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .
a) (1,5 ponto)
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral
da equação
converge para a origem quando
.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
c) (1,5 ponto) A convolução é um produto.
c) (1,5 ponto) A convolução é um produto.
Seja a matriz
e considere o sistema
. Escolher um
no intervalo
, encontre a solução geral
e calcule o limite quando
. Dica: encontrar os autovalores em função de
.