Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. é a circunferência

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma circunferência definida por e . Vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta essa integral de linha com uma integral de superfície envolvendo a rotacional de . Para isso, vamos precisar calcular a rotacional de e escolher uma superfície adequada cuja borda seja .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional de , que é dado por:
Vamos calcular cada componente passo a passo.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Para a componente :
    • Então, a componente fica:
  • Para a componente :
    • Então, a componente fica:
  • Para a componente :
    • Então, a componente fica:
Portanto, a rotacional de é:

Passo 4

Agora, vamos escolher uma superfície cuja borda seja a circunferência . Como está no plano , a gente pode escolher como o disco , também no plano . A orientação de é anti-horária vista de cima, então o vetor normal à superfície será na direção positiva de .

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
Aqui, é o vetor normal unitário à superfície . Como está no plano , .

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
Então, a integral de superfície fica:
Como em toda a superfície , a integral simplifica para:
á

Passo 7

A área do disco com raio (já que ) é:
Á
Portanto,

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral da equação converge para a origem quando .
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
c) (1,5 ponto) A convolução é um produto.
Seja a matriz e considere o sistema . Escolher um no intervalo , encontre a solução geral e calcule o limite quando . Dica: encontrar os autovalores em função de .