Use o Teorema de Stokes para calcular integralC F cdot d r. Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F(x, y, z)=y z i+2 x z j+e^x y k, C é a circunferência x^2+y^2=16, z=5

Passo 1

Beleza! A gente precisa calcular a integral de linha de um campo vetorial F(x, y, z) = yz i + 2xz j + e^xy k ao longo de uma circunferência C definida por x^2+y^2=16 e z=5. Vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta essa integral de linha com uma integral de superfície envolvendo a rotacional de F. Para isso, vamos precisar calcular a rotacional de F e escolher uma superfície adequada cuja borda seja C.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a rotacional de F, que é dado por:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k
Vamos calcular cada componente passo a passo.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Para a componente i:
    • partial Fzpartial y = partialpartial y e^xy = x e^xy
    • partial Fypartial z = partialpartial z (2xz) = 2x
    • Então, a componente i fica: x e^xy - 2x = x(e^xy - 2)
  • Para a componente j:
    • partial Fxpartial z = partialpartial z (yz) = y
    • partial Fzpartial x = partialpartial x e^xy = y e^xy
    • Então, a componente j fica: y - y e^xy = y(1 - e^xy)
  • Para a componente k:
    • partial Fypartial x = partialpartial x (2xz) = 2z
    • partial Fxpartial y = partialpartial y (yz) = z
    • Então, a componente k fica: 2z - z = z
Portanto, a rotacional de F é:
nabla times F = x(e^xy - 2) i + y(1 - e^xy) j + z k

Passo 4

Agora, vamos escolher uma superfície S cuja borda seja a circunferência C. Como C está no plano z=5, a gente pode escolher S como o disco x^2+y^2 <= 16, também no plano z=5. A orientação de C é anti-horária vista de cima, então o vetor normal à superfície S será na direção positiva de k.

Passo 5

Aplicando o Teorema de Stokes, temos que:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Aqui, n é o vetor normal unitário à superfície S. Como S está no plano z=5, n = k.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot k = z
Então, a integral de superfície fica:
integral duplaS z , dS
Como z=5 em toda a superfície S, a integral simplifica para:
integral duplaS z , dS = 5 integral duplaS dS = 5 times área de S á

Passo 7

A área do disco S com raio 4 (já que x^2+y^2=16) é:
Área = pi r^2 = pi (4)^2 = 16pi Á
Portanto,
integral duplaS z , dS = 5 times 16pi = 80pi

Resposta

integralC F cdot dr = 80pi

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