Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz
são iguais e reais negativos, então a solução geral
da equação
converge para a origem quando
.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz
cujos autovalores são iguais e reais negativos. A equação diferencial dada é
. Precisamos descobrir se a solução geral
dessa equação sempre se aproxima da origem quando
vai para infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os autovalores de uma matriz
nos dizem muito sobre o comportamento das soluções da equação diferencial
. Se os autovalores são reais e iguais, isso significa que a matriz pode ou não ser diagonalizável.
Passo 3
Se a matriz
for diagonalizável, a solução geral será composta por termos exponenciais do tipo
, onde
é o autovalor. Como os autovalores são negativos, esses termos vão decair exponencialmente para zero conforme
aumenta.
Passo 4
Por outro lado, se a matriz
não for diagonalizável, ainda teremos soluções que envolvem termos do tipo
. Mesmo assim, como
é negativo, esses termos também vão tender para zero quando
vai para infinito, já que o fator exponencial domina o crescimento linear de
.
Resposta
Verdadeiro. Independentemente de
ser diagonalizável ou não, os autovalores reais e negativos fazem com que a solução geral
converge para a origem quando
.
Exercícios relacionados
Seja a matriz
e considere o sistema
. Escolher um
no intervalo
, encontre a solução geral
e calcule o limite quando
. Dica: encontrar os autovalores em função de
.
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .
a) (1,5 ponto)
Use o Teorema de Stokes para calcular
. Em cada caso,
é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
é a circunferência