Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
d) (1,5 ponto) Se os autovalores da matriz são iguais e reais negativos, então a solução geral da equação converge para a origem quando .

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma matriz cujos autovalores são iguais e reais negativos. A equação diferencial dada é . Precisamos descobrir se a solução geral dessa equação sempre se aproxima da origem quando vai para infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os autovalores de uma matriz nos dizem muito sobre o comportamento das soluções da equação diferencial . Se os autovalores são reais e iguais, isso significa que a matriz pode ou não ser diagonalizável.

Passo 3

Se a matriz for diagonalizável, a solução geral será composta por termos exponenciais do tipo , onde é o autovalor. Como os autovalores são negativos, esses termos vão decair exponencialmente para zero conforme aumenta.

Passo 4

Por outro lado, se a matriz não for diagonalizável, ainda teremos soluções que envolvem termos do tipo . Mesmo assim, como é negativo, esses termos também vão tender para zero quando vai para infinito, já que o fator exponencial domina o crescimento linear de .

Resposta

Verdadeiro. Independentemente de ser diagonalizável ou não, os autovalores reais e negativos fazem com que a solução geral converge para a origem quando .

Exercícios relacionados

Seja a matriz e considere o sistema . Escolher um no intervalo , encontre a solução geral e calcule o limite quando . Dica: encontrar os autovalores em função de .
Em cada item responda verdadeiro ou falso, e justifique sua resposta.
a) (1,5 ponto) .
Use o Teorema de Stokes para calcular . Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. é a circunferência