Use coordenadas polares para calcular as integrais.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. Isso faz parte do cálculo multivariado, especificamente de integração em diferentes sistemas de coordenadas. Para resolver, vamos precisar entender como converter coordenadas cartesianas para polares e aplicar essa conversão na integral dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral que temos:
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y , dy , dx
Essa integral está definida sobre a região limitada por de a e de a . Isso descreve um círculo com raio 2 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos converter essa integral para coordenadas polares. Lembre-se que, em coordenadas polares:
x = r costheta e y = r sintheta
Além disso, o elemento de área em coordenadas polares é dado por .

Passo 4

Substituindo y = r sintheta na integral original:
integral0^2pi integral0^2 r sintheta cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^2 sintheta , dr , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 :
83 integral0^2pi sintheta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral em relação a integral0^2pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^2pi = -cos(2pi) + cos(0) = -1 + 1 = 0 :

Resposta

O valor da integral é .

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