Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f.
f(x)=integral0^x^2 t^3 d t

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral e as regras de derivação. Precisaremos entender como derivar uma função definida por uma integral cujo limite superior é uma função de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral como F'(x) = h(g(x)) cdot g'(x) , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que para derivar , precisamos avaliar a função dentro da integral no limite superior e multiplicar pela derivada desse limite.

Passo 3

No nosso caso, temos:
f(x) = integral0^x^2 t^3 , dt
Aqui, h(g(x)) = h(x^2) = (x^2)^3 = x^6 e . Primeiro, vamos encontrar :

Passo 4

Agora, calculamos a derivada de g'(x) = ddx (x^2) = 2x em relação a :

Passo 5

Aplicando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, multiplicamos f'(x) = h(g(x)) cdot g'(x) = x^6 cdot 2x = 2x^7 pela derivada de :

Resposta

A derivada da função é .

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