Seja uma função que satisfaz e . Determine sabendo que é um número inteiro.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de . A derivada dessa função é dada por uma expressão polinomial. Para resolver esse exercício, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais. Precisamos encontrar os valores reais de , , e , sabendo que é um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função :
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites:
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 4

Lembrando que , temos:
Substituindo essas expressões:
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que . Então, igualando as duas expressões:
Para que as expressões sejam iguais para todo , os expoentes e os coeficientes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo as equações passo a passo:
  1. De :
  1. Substituindo em :
  1. Com , encontramos :
  1. Finalmente, já temos .

Resposta

Os valores são:

Exercícios relacionados

Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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