Seja h uma função que satisfaz h(x)=integral2 ln x^2 a ln x e^b t d t e h^prime(x)=c x^17+d x^5. Determine a, b, c, d in R sabendo que a é um número inteiro.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma função definida como uma integral com limites que dependem de . A derivada dessa função é dada por uma expressão polinomial. Para resolver esse exercício, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais. Precisamos encontrar os valores reais de , , e , sabendo que é um número inteiro.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função h(x) = integral2 ln x^2a ln x e^b t , dt :
h'(x) = e^b cdot 2a ln x cdot ddx(2a ln x) - e^b cdot 2 ln x cdot ddx(2 ln x)
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de é:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas dos limites:
ddx(2a ln x) = 2ax
ddx(2 ln x) = 2x
Substituindo de volta na expressão de h'(x) = e^2a b ln x cdot 2ax - e^2b ln x cdot 2x :

Passo 4

Lembrando que e^2a b ln x = x^2a b , temos:
e^2b ln x = x^2b
h'(x) = x^2a b cdot 2ax - x^2b cdot 2x
Substituindo essas expressões:
h'(x) = 2a , x^2a b - 1 - 2 , x^2b - 1
Simplificando:

Passo 5

Sabemos que 2a , x^2a b - 1 - 2 , x^2b - 1 = c x^17 + d x^5 . Então, igualando as duas expressões:
2a b - 1 = 17
Para que as expressões sejam iguais para todo 2b - 1 = 5 , os expoentes e os coeficientes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
2a = c
-2 = d

Passo 6

Resolvendo as equações passo a passo:
  1. De 2b = 6 Rightarrow b = 3 :
2a cdot 3 - 1 = 17 Rightarrow 6a - 1 = 17 Rightarrow 6a = 18 Rightarrow a = 3
  1. Substituindo 2a = 2 cdot 3 = 6 Rightarrow c = 6 em :
  1. Com , encontramos :
  1. Finalmente, já temos .

Resposta

Os valores são:
a = 3, b = 3, c = 6, d = -2

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