Seja
uma função que satisfaz
e
. Determine
sabendo que
é um número inteiro.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma função
definida como uma integral com limites que dependem de
. A derivada dessa função é dada por uma expressão polinomial. Para resolver esse exercício, vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos ajuda a derivar funções definidas por integrais. Precisamos encontrar os valores reais de
,
,
e
, sabendo que
é um número inteiro.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
:
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
é:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas dos limites:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 4
Lembrando que
, temos:
Substituindo essas expressões:
Simplificando:
Passo 5
Sabemos que
. Então, igualando as duas expressões:
Para que as expressões sejam iguais para todo
, os expoentes e os coeficientes devem ser iguais. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo as equações passo a passo:
- De
:
- Substituindo
em :
- Com
, encontramos :
- Finalmente, já temos
.
Resposta
Os valores são:
Exercícios relacionados
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
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