Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
. Para isso, vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integração e derivação, além de aplicar propriedades da integral e regras de derivação quando precisar. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de
, a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pelas derivadas desses limites. Matematicamente, se
, então:
Isso mesmo, a derivada de
é a diferença entre o valor da função no limite superior vezes a derivada do limite superior e o valor da função no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa função
. Aqui,
, o limite inferior é
e o limite superior é
.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular
:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular
:
E a derivada de
em relação a
é:
Passo 6
Aplicando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
Resposta
Portanto, a derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Seja
uma função que satisfaz
e
. Determine
sabendo que
é um número inteiro.
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função
.
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Calcule a derivada das seguintes funções: