Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integração e derivação, além de aplicar propriedades da integral e regras de derivação quando precisar. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de , a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pelas derivadas desses limites. Matematicamente, se , então:
Isso mesmo, a derivada de é a diferença entre o valor da função no limite superior vezes a derivada do limite superior e o valor da função no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função . Aqui, , o limite inferior é e o limite superior é .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular :
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular :
E a derivada de em relação a é:

Passo 6

Aplicando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, temos:

Resposta

Portanto, a derivada da função é:

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Seja uma função que satisfaz e . Determine sabendo que é um número inteiro.
Utilize o significado geométrico da integral para concluir que:
.
Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Calcule a derivada das seguintes funções: