Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função f.
f(x)=integralx^x^2 e^t d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função . Para isso, vamos usar o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, que liga integração e derivação, além de aplicar propriedades da integral e regras de derivação quando precisar. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo. Ele nos diz que se temos uma função definida por uma integral com limites que dependem de F'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) , a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda nos limites e multiplicando pelas derivadas desses limites. Matematicamente, se , então:
Isso mesmo, a derivada de é a diferença entre o valor da função no limite superior vezes a derivada do limite superior e o valor da função no limite inferior vezes a derivada do limite inferior.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa função . Aqui, , o limite inferior é e o limite superior é .

Passo 4

Primeiro, vamos calcular g(b(x)) = e^x^2 :
b'(x) = ddx(x^2) = 2x
E a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular g(a(x)) = e^x :
a'(x) = ddx(x) = 1
E a derivada de em relação a é:

Passo 6

Aplicando o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, temos:
f'(x) = g(b(x)) cdot b'(x) - g(a(x)) cdot a'(x) = e^x^2 cdot 2x - e^x cdot 1

Resposta

Portanto, a derivada da função f'(x) = 2x cdot e^x^2 - e^x é:

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