Calcule a derivada das seguintes funções:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . A gente vai usar cálculo, especificamente a diferenciação, e pra isso vamos precisar aplicar a regra de derivação de funções compostas e logaritmos para simplificar.

Passo 2

Primeiro passo: vamos aplicar o logaritmo natural nos dois lados da equação. Isso ajuda a simplificar a derivada quando temos funções com expoentes complicados.

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar:

Passo 4

Em seguida, vamos derivar ambos os lados em relação a . No lado esquerdo, usando a regra da cadeia, temos:
No lado direito, temos um produto de duas funções: e . Vamos usar a regra do produto para derivar.

Passo 5

Aplicando a regra do produto no lado direito:
Vamos derivar cada parte:
  1. Para , podemos usar logaritmos novamente: Derivando:

Passo 6

Agora, juntando tudo:
Multiplicando ambos os lados por :
Substituindo :

Resposta

A derivada da função é:

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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Em cada item, utilize o Primeiro Teorema Fundamental do Cálculo, propriedades da integral (se necessário) e as regras de derivação (se necessário) para calcular a derivada da função .
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Calcule a derivada das seguintes funções:
Use a Regra de L