Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função
é contínua no ponto
. A matéria envolvida aqui é o conceito de continuidade de funções em várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e como calcular limites em funções de diversas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
Passo 3
No nosso caso, queremos verificar a continuidade de
no ponto
. A função está definida de duas formas:
Então, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
e ver se esse limite é igual a 1.
Passo 4
Vamos calcular o limite:
Primeiro, substituímos
por
diretamente na expressão:
E no denominador:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, então precisamos usar outra estratégia para calcular o limite.
Passo 5
Uma maneira de lidar com limites em várias variáveis é transformar para coordenadas esféricas ou tentar simplificar a expressão. Vamos tentar simplificar a expressão no numerador e denominador.
No numerador:
Explicando: Subtraímos e somamos para centrar em
.
Expandindo isso:
Agora, vamos comparar isso com o denominador:
Passo 6
Observando as expressões, notamos que, próximo a
, os termos de segundo grau
e
dominam sobre
, já que
cresce mais devagar que
para
próximo de 0.
Portanto, podemos dizer que:
Passo 7
Simplificando a aproximação:
Agora, quando
,
tende a 0, então:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 1, que é o valor de
, concluímos que a função
é contínua no ponto
.
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é cont ínua, justificando sua resposta.
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância
do centro do planeta é
onde
é a massa da Terra,
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é a constante gravitacional. A função
é contínua? Justifique.
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
em
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.