Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y, z)=c(x+y+z+1)^2(x-1)^2+y^4+(z+2)^2, se (x, y, z) neq(1,0,-2) 1, se (x, y, z)=(1,0,-2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se a função é contínua no ponto . A matéria envolvida aqui é o conceito de continuidade de funções em várias variáveis. Para isso, vamos precisar entender o que é limite e como calcular limites em funções de diversas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função lim(x, y, z) to (a, b, c) f(x, y, z) = f(a, b, c) é contínua no ponto se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:

Passo 3

No nosso caso, queremos verificar a continuidade de f(x, y, z) = (x + y + z + 1)^2(x - 1)^2 + y^4 + (z + 2)^2, & se (x, y, z) neq (1, 0, -2) 1, & se (x, y, z) = (1, 0, -2) no ponto . A função está definida de duas formas:
Então, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de e ver se esse limite é igual a 1.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
lim(x, y, z) to (1, 0, -2) (x + y + z + 1)^2(x - 1)^2 + y^4 + (z + 2)^2
Primeiro, substituímos x + y + z + 1 = 1 + 0 + (-2) + 1 = 0 por (x - 1)^2 + y^4 + (z + 2)^2 = (1 - 1)^2 + 0^4 + (-2 + 2)^2 = 0 + 0 + 0 = 0 diretamente na expressão:
E no denominador:
Isso nos dá uma forma indeterminada , então precisamos usar outra estratégia para calcular o limite.

Passo 5

Uma maneira de lidar com limites em várias variáveis é transformar para coordenadas esféricas ou tentar simplificar a expressão. Vamos tentar simplificar a expressão no numerador e denominador.
No numerador:
(x + y + z + 1)^2 = ( (x - 1) + y + (z + 2) )^2
Explicando: Subtraímos e somamos para centrar em = (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2 + 2(x - 1)y + 2(x - 1)(z + 2) + 2y(z + 2) .
Expandindo isso:
(x - 1)^2 + y^4 + (z + 2)^2
Agora, vamos comparar isso com o denominador:

Passo 6

Observando as expressões, notamos que, próximo a (x + y + z + 1)^2(x - 1)^2 + y^4 + (z + 2)^2 approx (x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2(x - 1)^2 + (z + 2)^2 , os termos de segundo grau e dominam sobre , já que cresce mais devagar que para próximo de 0.
Portanto, podemos dizer que:

Passo 7

Simplificando a aproximação:
(x - 1)^2 + y^2 + (z + 2)^2(x - 1)^2 + (z + 2)^2 = 1 + y^2(x - 1)^2 + (z + 2)^2
Agora, quando lim(x, y, z) to (1, 0, -2) 1 + y^2(x - 1)^2 + (z + 2)^2 = 1 + 0 = 1 , tende a 0, então:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a 1, que é o valor de , concluímos que a função é contínua no ponto .

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Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
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F(r) = { G M r / R^3 se r < R, G M / r^2 se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é contínua? Justifique.
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x) = { x se x < 1, 1/x se x > 1 } em x = 1
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (x + y) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }