Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Passo 1
Beleza, temos um exercício de continuidade de funções, que faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. A gente vai verificar se a função
é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em
.
Passo 3
Vamos analisar a função dada:
Nos pontos onde
, a função parece bem comportada. O desafio está em verificar o que acontece em
.
Passo 4
Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde
e
, com
sendo a distância até a origem.
Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando
.
Passo 5
Observando a expressão
, vemos que
está multiplicando as funções trigonométricas, que estão limitadas entre -1 e 1. Portanto:
Quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (Apreensão), o limite de
quando
é 0.
Passo 6
Comparando com o valor da função em
, que é exatamente 0, temos:
Isso satisfaz a condição de continuidade no ponto
.
Resposta
A função
é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo
.
Exercícios relacionados
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância
do centro do planeta é
onde
é a massa da Terra,
é seu raio e
é a constante gravitacional. A função
é contínua? Justifique.
Se
, determine o valor de
.
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
em