Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (2xy) / raiz(x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, temos um exercício de continuidade de funções, que faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável. A gente vai verificar se a função é contínua em todos os pontos, especialmente no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade em várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos verificar a continuidade em .

Passo 3

Vamos analisar a função dada:
Nos pontos onde , a função parece bem comportada. O desafio está em verificar o que acontece em .

Passo 4

Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Uma boa estratégia é usar coordenadas polares, onde e , com sendo a distância até a origem.
Substituindo na função:
Agora, vamos analisar o comportamento desse limite quando .

Passo 5

Observando a expressão , vemos que está multiplicando as funções trigonométricas, que estão limitadas entre -1 e 1. Portanto:
Quando se aproxima de 0, também se aproxima de 0. Assim, pelo Teorema do Squeeze (Apreensão), o limite de quando é 0.

Passo 6

Comparando com o valor da função em , que é exatamente 0, temos:
Isso satisfaz a condição de continuidade no ponto .

Resposta

A função é contínua em todos os pontos do domínio, incluindo .

Exercícios relacionados

A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é
F(r) = { G M r / R^3 se r < R, G M / r^2 se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é contínua? Justifique.
Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y, z)=c(x+y+z+1)^2(x-1)^2+y^4+(z+2)^2, se (x, y, z) neq(1,0,-2) 1, se (x, y, z)=(1,0,-2)
Dê o valor (caso exista) que a função deveria ter no ponto dado para ser contínua neste ponto. Justifique.
f(x) = { x se x < 1, 1/x se x > 1 } em x = 1