A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância r do centro do planeta é
F(r) = { G M r / R^3 se r < R, G M / r^2 se r ≥ R }
onde M é a massa da Terra, R é seu raio e G é a constante gravitacional. A função F é contínua? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no enunciado! A gente tem uma função que descreve a força gravitacional que a Terra exerce sobre uma unidade de massa, dependendo da distância r do centro da Terra. A função muda de expressão dependendo se r é menor ou maior que o raio da Terra R. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é contínua. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser contínua e verificar os limites da função nos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos refrescar a memória sobre o que é uma função contínua. Uma função é contínua num ponto se o limite da função quando a gente se aproxima desse ponto, pela esquerda e pela direita, é igual ao valor da função nesse ponto. Ou seja, não tem “saltos” ou “buracos” na curva da função nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos identificar onde a função pode não ser contínua. Olhando para o enunciado, vemos que a função muda de expressão em . Então, a gente precisa verificar a continuidade nesse ponto específico.

Passo 4

Vamos calcular os limites pela esquerda e pela direita em .
Para , a função é:
Então, o limite quando r se aproxima de R pela esquerda é:
Para , a função é:
Então, o limite quando r se aproxima de R pela direita é:

Passo 5

Agora, comparamos os limites:
Como os dois limites são iguais e também igual ao valor da função em , a função é contínua em .

Resposta

Sim, a função é contínua porque os limites pela esquerda e pela direita em são iguais e coincidem com o valor da função nesse ponto.

Exercícios relacionados

Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).
A função f(x) = { 2 se x ≥ 1, 1 se x < 1 } é contínua em x = 1 ? Justifique.
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y) = { (2xy) / raiz(x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0) ; 0, se (x, y) = (0, 0) }
Em cada item verifique se a função f é cont ínua, justificando sua resposta.
f(x, y, z)=c(x+y+z+1)^2(x-1)^2+y^4+(z+2)^2, se (x, y, z) neq(1,0,-2) 1, se (x, y, z)=(1,0,-2)