Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis, (x, y), que se aproxima de (1,1). A equação dada é:
lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2
O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções de múltiplas variáveis e propriedades dos logaritmos. Precisamos descobrir o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y). Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte dentro dos colchetes que envolve os logaritmos. Temos:
ln(x^2-y^2) - ln(x-y)
Sabemos que ln a - ln b = ln(ab), então:
ln(x^2-y^2) - ln(x-y) = ln(x^2-y^2x - y)

Passo 3

Agora, observe que x^2 - y^2 pode ser fatorado como (x - y)(x + y). Então:
x^2-y^2x - y = (x - y)(x + y)x - y = x + y
Portanto, a expressão simplificada fica:
ln(x + y)

Passo 4

Substituindo de volta na expressão original do limite, temos:
lim (x, y) (1,1)x f(x, y) + e^y-x ln(x + y) = ln 2
Agora, vamos isolar f(x, y):
x f(x, y) = ln 2 - e^y - x ln(x + y)
f(x, y) = ln 2 - e^y - x ln(x + y)x

Passo 5

Agora, para encontrar o limite de f(x, y) quando (x, y) (1,1), vamos substituir os valores:
  • Quando (x, y) (1,1), temos x 1 e y 1.
  • e^y - x e^0 = 1
  • ln(x + y) ln(2)
Substituindo na expressão de f(x, y):
lim (x, y) (1,1) f(x, y) = ln 2 - 1 cdot ln 21 = ln 2 - ln 21 = 01 = 0

Resposta

O valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y) é 0.

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