Se
, determine o valor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um limite de uma função de duas variáveis,
, que se aproxima de
. A equação dada é:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve limites de funções de múltiplas variáveis e propriedades dos logaritmos. Precisamos descobrir o valor de
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte dentro dos colchetes que envolve os logaritmos. Temos:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, observe que
pode ser fatorado como
. Então:
Portanto, a expressão simplificada fica:
Passo 4
Substituindo de volta na expressão original do limite, temos:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Agora, para encontrar o limite de
quando
, vamos substituir os valores:
- Quando
, temos e . -
-
Substituindo na expressão de
:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
A função
é contínua em
? Justifique.
Considere a função
, para
. Existe
tal que
? Justifique sua resposta sem usar calculadora. (Valores aproximados:
.
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância
do centro do planeta é
onde
é a massa da Terra,
é seu raio e
é a constante gravitacional. A função
é contínua? Justifique.
Em cada item verifique se a função
é cont ínua, justificando sua resposta.