Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Note que no numerador, temos
, que é uma diferença de potências. Sabemos que
pode ser fatorado, então vamos fatorar
.
Passo 3
A expressão
pode ser fatorada usando a identidade da diferença de quadrados:
Agora, o termo
também é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
Então, substituindo de volta:
Passo 4
Agora, substituímos a fatoração no limite original:
Podemos simplificar cancelando um
do numerador com um do denominador:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
).
-
Numerador:
- Quando
, e , então o numerador tende a .
- Quando
-
Denominador:
- Quando
, está se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1. Assim, está se aproximando de 0, mas de forma negativa ( ).
- Quando
Passo 6
Então, a expressão inteira fica:
Dividir um número positivo por um número que se aproxima de zero negativo resulta em um valor que tende a
.
Resposta
O limite
é
.
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