Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
lim x 1^- x^4-1(x-1)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo, mais especificamente de limites. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões algébricas e aplicar as propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Note que no numerador, temos , que é uma diferença de potências. Sabemos que pode ser fatorado, então vamos fatorar .

Passo 3

A expressão x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) pode ser fatorada usando a identidade da diferença de quadrados:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Agora, o termo x^4 - 1 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) também é uma diferença de quadrados e pode ser fatorado:
Então, substituindo de volta:

Passo 4

Agora, substituímos a fatoração no limite original:
lim x 1^- (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x - 1)^2
Podemos simplificar cancelando um lim x 1^- (x + 1)(x^2 + 1)x - 1 do numerador com um do denominador:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ).
  • Numerador:
    • Quando , e , então o numerador tende a .
  • Denominador:
    • Quando , está se aproximando de 1 pela esquerda, ou seja, valores menores que 1. Assim, está se aproximando de 0, mas de forma negativa ( ).

Passo 6

Então, a expressão inteira fica:
40^-
Dividir um número positivo por um número que se aproxima de zero negativo resulta em um valor que tende a .

Resposta

O limite é .

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