Encontre a área da região que está dentro da primeira Curva
fora da segunda curva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
. Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que é uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo
e uma distância
do ponto até a origem.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que cada curva representa:
- Curva 1:
- Curva 2:
A curva
é um círculo com raio 1 centrado na origem. Já a curva é uma cardioide, que é uma curva com formato de coração.
Passo 3
Para encontrar a área que está dentro da curva 1 e fora da curva 2, precisamos identificar onde essas duas curvas se intersectam. Ou seja, encontrar os valores de
para os quais .
Vamos igualar as duas equações:
Passo 4
Resolvendo a equação:
As soluções para no intervalo de
a
são
,
e
.
Passo 5
Agora, vamos visualizar as curvas para entender em quais intervalos
a curva 1 está dentro da curva 2.
Para
:
- portanto, .
Para
:
- portanto, .
Isso significa que a região que está dentro da curva 1 e fora da curva 2 ocorre quando
.
Passo 6
A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Para encontrar a área da região desejada, subtraímos a área da curva 2 da área da curva 1 no intervalo
:
Passo 7
Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
- : Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 9
Substituindo de volta na expressão da área:
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 11
Multiplicando pelo
:
Resposta
A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva
é
unidades de área.
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