Encontre a área da região que está dentro da primeira Curva e fora da segunda curva.
r = 1 - sen(θ), r = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva . Aqui estamos trabalhando com coordenadas polares, que é uma forma de representar pontos no plano usando um ângulo e uma distância do ponto até a origem.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que cada curva representa:
  1. Curva 1:
  2. Curva 2:
A curva é um círculo com raio 1 centrado na origem. Já a curva é uma cardioide, que é uma curva com formato de coração.

Passo 3

Para encontrar a área que está dentro da curva 1 e fora da curva 2, precisamos identificar onde essas duas curvas se intersectam. Ou seja, encontrar os valores de para os quais .
Vamos igualar as duas equações:

Passo 4

Resolvendo a equação:
As soluções para no intervalo de a são , e .

Passo 5

Agora, vamos visualizar as curvas para entender em quais intervalos a curva 1 está dentro da curva 2.
Para :
  • portanto, .
Para :
  • portanto, .
Isso significa que a região que está dentro da curva 1 e fora da curva 2 ocorre quando .

Passo 6

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Para encontrar a área da região desejada, subtraímos a área da curva 2 da área da curva 1 no intervalo :

Passo 7

Vamos expandir e simplificar a expressão dentro da integral:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
  1. : Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da área:
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para :
Para :
Subtraindo:

Passo 11

Multiplicando pelo :

Resposta

A área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva é unidades de área.

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