Determine as soluçōes dos exercícios (a), (b) e (d) que passam pelo ponto
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as soluções da equação diferencial
que passam pelo ponto
. Então, vamos trabalhar com equações diferenciais de primeira ordem e usar um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que temos:
. Isso é uma equação diferencial que relaciona as variáveis
e
. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação e passe pelo ponto
.
Passo 3
Vamos reescrever a equação para facilitar a resolução. Podemos dividir tudo por
para transformar em uma forma mais familiar:
Isso nos dá:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Podemos simplificar isso dividindo cada termo no numerador por
:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação:
Aqui,
e
.
Passo 6
Para resolver esse tipo de equação, usamos um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Passo 8
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
:
Passo 9
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 10
Agora, resolvemos para
:
Passo 11
Usamos a condição inicial que a solução passa pelo ponto
. Substituímos
e
na equação:
Isso dá:
Passo 12
Substituímos o valor de
de volta na equação geral:
Podemos simplificar:
Resposta
A solução que passa pelo ponto
é:
Exercícios relacionados
Encontre todos os pontos de interseção das curvas dadas.
Em cada item, verifique se o limite existe. Em caso afirmativo, calcule-o. Em caso negativo, justifique.
Se existem, calcule os seguintes limites:
©
©
Encontre uma restrição
para cada função dada de modo que essa restrição admita uma inversa
. Em cada caso, especifique o domínio e o contra domínio da inversa e, também, sua lei de formação, nos casos seguintes:
(d)
(d)