Em cada um dos itens abaixo, calcule integral duplaS F cdot n d S, onde n é um vetor unitário normal exterior a S.
F=x i+y j+z^2 k ; S a superfície da região Q=(x, y, z) in R^3: x^2+y^2+z^2 <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a superfície da esfera de raio 1. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar nossa vida nessa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por , é uma medida de quanto o campo “espalha” ou “converge” em um ponto. Para nosso campo , vamos calcular essa divergência.

Passo 3

Calculando a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z^2) = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z :
Então, .

Passo 4

Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaQ nabla cdot F , dV
Então, precisamos integrar sobre o volume da esfera de raio 1.

Passo 5

Vamos dividir a integral em duas partes:
integral triplaQ 2 , dV + integral triplaQ 2z , dV
A primeira parte é 2 times 43pi = 83pi vezes o volume da esfera. Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é , então:
A segunda parte, , é zero porque a função é ímpar em relação ao eixo e a esfera é simétrica em torno desse eixo.

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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