Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
e
é a superfície da esfera de raio 1. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema da Divergência, que vai facilitar nossa vida nessa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a divergência de um campo vetorial. A divergência, denotada por
, é uma medida de quanto o campo “espalha” ou “converge” em um ponto. Para nosso campo
, vamos calcular essa divergência.
Passo 3
Calculando a divergência de
:
Então,
.
Passo 4
Agora, aplicamos o Teorema da Divergência, que nos diz que:
Então, precisamos integrar
sobre o volume da esfera de raio 1.
Passo 5
Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira parte é
vezes o volume da esfera. Sabemos que o volume de uma esfera de raio 1 é
, então:
A segunda parte,
, é zero porque a função
é ímpar em relação ao eixo
e a esfera é simétrica em torno desse eixo.
Resposta
A integral de superfície é igual a
.
Exercícios relacionados
De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?
Em cada um dos itens abaixo, calcule
, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
a superfície da região
.
O código Morse usa duas letras, ponto e traço, e as palavras têm de 1 a 4 letras. Quantas são as palavras do código Morse?
Quantos anagramas tem a palavra LIVRO que começa com a vogal?