De quantos modos é possível dividir 15 atletas em três times de 5 atletas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos 15 atletas e queremos dividi-los em três times, cada um com 5 atletas. O que vamos usar aqui são combinações, que nos ajudam a contar de quantas maneiras podemos selecionar grupos sem se importar com a ordem. Precisamos calcular quantas combinações diferentes podemos formar para cada time e ajustar para não contar os mesmos grupos mais de uma vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher os 5 atletas para o primeiro time. Usamos a combinação para isso:
Aqui, “!” representa o fatorial, que é o produto de todos os números inteiros positivos até aquele número.
Passo 3
Depois de formar o primeiro time, restam 10 atletas. Agora, escolhemos os 5 atletas para o segundo time:
Passo 4
Os 5 atletas que sobraram automaticamente formam o terceiro time. Como não temos escolha aqui, há apenas 1 maneira de fazer isso.
Passo 5
Até agora, multiplicamos as combinações para o primeiro e o segundo time. Mas precisamos considerar que a ordem em que formamos os times não importa. Por exemplo, se trocarmos o primeiro e o segundo time, estaremos contando o mesmo arranjo duas vezes. Para corrigir isso, dividimos pelo número de maneiras de organizar os 3 times, que é 3!:
Resposta
Calculando tudo direitinho:
Então, existem 126.126 modos diferentes de dividir os 15 atletas em três times de 5 atletas cada.
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, onde
é um vetor unitário normal exterior a
.
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.
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