Considere o sistema , com e F = [-9 t, 0, -18 t].
Verifique que phi(t) = [[e^(3 t), -e^(3 t), -e^(-3 t)], [0, e^(3 t), -e^(-3 t)], [e^(3 t), 0, e^(-3 t)]] é matriz fundamental de X' = A X.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo e quais conceitos vamos usar para resolvê-lo. Temos um sistema de equações diferenciais lineares na forma , onde é uma matriz dada e é um vetor específico. O objetivo é verificar que a matriz fornecida é uma matriz fundamental para o sistema homogêneo associado .
Para resolver isso, precisamos entender:
O que é uma matriz fundamental.
Como verificar se uma matriz satisfez a equação diferencial do sistema.
Como confirmar que a matriz é invertível.
Passo 2
O que é uma matriz fundamental?
Uma matriz fundamental para um sistema é uma solução matricial que atende duas condições importantes:
Satisfaz a equação diferencial:.
É invertível para todo : Isso garante que as soluções formam uma base no espaço das soluções.
Então, para verificar que é uma matriz fundamental, precisamos checar essas duas condições.
Passo 3
Verificando se satisfaz a equação :
Primeiro, vamos calcular a derivada de em relação a :
Derivando cada elemento:
Agora, calculamos :
Multiplicando por :
Simplificando cada elemento:
Comparando com , vemos que são iguais:
Portanto, satisfaz a equação diferencial do sistema homogêneo.
Passo 4
Verificando se é invertível:
Para que seja uma matriz fundamental, ela também precisa ser invertível para todo . Vamos calcular o determinante de :
Usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores, podemos calcular:
Simplificando:
No entanto, notamos um erro no cálculo acima. Vamos refazer corretamente utilizando métodos mais simples.
Observe que a matriz possui uma estrutura que facilita o cálculo do determinante. Podemos reescrever a matriz como:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Observamos que e são sempre positivos para todo , portanto:
Como o determinante é diferente de zero para todo , a matriz é invertível.
Passo 5
Conclusão:
Como verificamos que:
satisfaz a equação diferencial .
é invertível para todo .
Portanto, é de fato uma matriz fundamental para o sistema homogêneo .