lim x 0 ln (1+x)-x+x^2 / 2x^3

Passo 1

Tudo bem! Vamos resolver esse limite juntos. O enunciado pede para calcular:
lim x 0 ln (1+x) - x + x^22x^3
Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a função ln(1+x).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções suaves usando polinômios. Para ln(1+x), a expansão em série em torno de x=0 é:
ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - x^44 + dots

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão no numerador da nossa expressão original:
ln(1+x) - x + x^22 = (x - x^22 + x^33 - x^44 + dots) - x + x^22

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão. Observe que termos semelhantes vão se cancelar:
(x - x) + (-x^22 + x^22) + x^33 - x^44 + dots = x^33 - x^44 + dots

Passo 5

Agora, o numerador simplificado é aproximadamente x^33 para valores de x próximos de 0. Então, nossa expressão original fica:
x^33x^3 = 13

Resposta

Portanto, o limite é 13.

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