Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver esse limite juntos. O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções suaves usando polinômios. Para
, a expansão em série em torno de
é:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão no numerador da nossa expressão original:
Passo 4
Vamos simplificar essa expressão. Observe que termos semelhantes vão se cancelar:
Passo 5
Agora, o numerador simplificado é aproximadamente
para valores de
próximos de 0. Então, nossa expressão original fica:
Resposta
Portanto, o limite é
.