Para cada um dos itens abaixo, construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de
. Depois, resolva sua equação e confirme que todas as soluçõ̃es têm, de fato, a propriedade especificada.
- b) Separável: resolva a EDO separando as variáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício onde a gente precisa criar uma equação diferencial de primeira ordem que seja separável. Além disso, todas as soluções dessa equação devem crescer sem limites quando o tempo
vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações separáveis e entender como resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. É uma equação onde podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Isso facilita muito a resolução, porque a gente consegue integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Vamos construir nossa equação diferencial. Uma forma simples de garantir que todas as soluções vão para infinito quando
tende ao infinito é escolher uma equação onde a taxa de variação de
depende positivamente de
. Por exemplo:
Passo 4
Agora que temos a equação, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Então, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
, então temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Podemos simplificar
como uma nova constante
, então:
Passo 7
Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando
tende ao infinito. Como
cresce sem limites quando
aumenta, e
é uma constante positiva (para manter
positivo), temos que:
Isso confirma que todas as soluções da nossa equação diferencial realmente tendem ao infinito quando
vai para o infinito.
Resposta
A equação diferencial separável construída é
. Sua solução geral é
, onde
é uma constante. Todas as soluções satisfazem
.