Para cada um dos itens abaixo, construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de lim t infty y(t)=infty. Depois, resolva sua equação e confirme que todas as soluçõ̃es têm, de fato, a propriedade especificada.
  • b) Separável: resolva a EDO separando as variáveis.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício onde a gente precisa criar uma equação diferencial de primeira ordem que seja separável. Além disso, todas as soluções dessa equação devem crescer sem limites quando o tempo vai para o infinito. Para isso, vamos usar conceitos de equações separáveis e entender como resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial separável. É uma equação onde podemos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Isso facilita muito a resolução, porque a gente consegue integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Vamos construir nossa equação diferencial. Uma forma simples de garantir que todas as soluções vão para infinito quando dydt = y tende ao infinito é escolher uma equação onde a taxa de variação de depende positivamente de . Por exemplo:

Passo 4

Agora que temos a equação, vamos separar as variáveis. Queremos colocar todos os termos com 1y , dy = dt de um lado e os termos com do outro. Então, dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Em seguida, integramos ambos os lados da equação. A integral de ln|y| = t + C é e a integral de é , então temos:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver para y = e^t + C = e^C cdot e^t , vamos eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados:
y = K e^t
Podemos simplificar como uma nova constante , então:

Passo 7

Agora, vamos analisar o comportamento da solução quando limt to infty y(t) = limt to infty K e^t = infty tende ao infinito. Como cresce sem limites quando aumenta, e é uma constante positiva (para manter positivo), temos que:
Isso confirma que todas as soluções da nossa equação diferencial realmente tendem ao infinito quando vai para o infinito.

Resposta

A equação diferencial separável construída é . Sua solução geral é , onde é uma constante. Todas as soluções satisfazem .

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