Para cada um dos itens abaixo, construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de
. Depois, resolva sua equação e confirme que todas as soluçõ̃es têm, de fato, a propriedade especificada.
- c) Exata: resolva a EDO encontrando a função
tal que
define implicitamente a solução da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma equação diferencial de primeira ordem que tenha todas as soluções tal que, quando
vai para o infinito,
também vai para o infinito. Além disso, na parte c), precisamos resolver essa equação diferencial usando o método de equações exatas, encontrando uma função
que define implicitamente a solução da EDO. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais de primeira ordem, o conceito de limite quando
vai para o infinito, e o método das equações exatas.
Passo 2
Primeiro, vamos construir uma equação diferencial de primeira ordem. Uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma geral:
Queremos que todas as soluções dessa equação tenham a propriedade de que
. Isso significa que, conforme
aumenta,
também cresce sem limites.
Uma escolha simples para
que garante que
cresce à medida que
aumenta é uma função positiva que depende de
. Por exemplo, podemos escolher:
Essa é a equação diferencial diferencial mais básica que satisfaz essa condição.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
é exata se existir uma função
tal que:
No nosso caso, reescrevemos a equação
na forma:
Aqui,
e
. Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata nesse formato. Então, precisamos ajustar para torná-la exata ou escolher outra equação.
Para simplificar, vamos escolher outra equação que já seja exata. Por exemplo:
Aqui,
e
. Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Para tornar exata, podemos multiplicar por um fator integrante. Mas para facilitar, vamos escolher uma equação que já seja exata. Por exemplo:
Agora, calculamos:
Agora sim,
, então a equação é exata.
Passo 4
Agora que temos uma equação exata
, vamos encontrar a função
tal que:
Para isso, integramos
em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:
Portanto, a solução implícita da EDO é:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação
para encontrar
em função de
. Isolando
:
Como
é uma constante arbitrária, podemos reescrever em termos de
(já que nossa variável independente é
):
Agora, vamos analisar o limite quando
vai para o infinito:
Ops! Isso não satisfaz a condição requerida de
. Parece que precisamos ajustar nossa equação diferencial.
Passo 6
Vamos reconsiderar nossa escolha inicial. A equação
levou a soluções que tendem a zero, não infinita. Então, precisamos escolher uma equação diferencial diferente que garanta que
cresça sem limites quando
vai para infinito.
Vamos tentar uma equação mais simples:
Essa equação é conhecida e suas soluções aumentam sem limites quando
se aproxima de um certo valor. Vamos resolver essa equação para verificar.
Passo 7
Resolvendo
, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isolando
:
Agora, analisamos o limite quando
vai para infinito:
Mais uma vez, a solução tende a zero. Parece que precisamos de uma abordagem diferente para garantir que
vai para infinito.
Passo 8
Vamos tentar uma equação onde a derivada de
seja proporcional a
elevado a um expoente menor que 1. Por exemplo:
Vamos resolver essa equação e verificar o comportamento da solução.
Passo 9
Resolvendo
, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isolando
:
Agora, analisamos o limite quando
vai para infinito:
Prontinho! Essa equação diferencial satisfaz a condição requerida.
Passo 10
Agora, vamos verificar se essa equação é exata. A equação diferencial é:
Reescrevendo na forma diferencial:
Aqui,
e
.
Verificando a exatidão:
Como
, a equação não é exata. Então, vamos encontrar um fator integrante ou escolher outra equação.
Para simplificar, vamos optar por uma equação que já seja exata. Por exemplo:
Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Para tornar exata, precisamos de um fator integrante. Porém, para evitar complicações, vamos escolher uma equação já exata, como:
Verificando:
Não exata novamente. Parece que estamos tendo dificuldades para encontrar uma EDO exata que satisfaça a condição inicial. Podemos reconsiderar nossa abordagem ou utilizar métodos alternativos.
Passo 11
Como estamos enfrentando dificuldades para encontrar uma equação exata que atenda às condições, vamos retornar à nossa segunda tentativa, mesmo que não seja exata. A equação
foi uma opção inicial, mas suas soluções tendem a zero. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Optando por outra equação, por exemplo:
Vamos resolver essa equação e verificar o comportamento das soluções.
Passo 12
Resolvendo
, separamos as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isolando
:
Para
ser real,
, então
deve ser menor que
. No limite
,
não está definido, então essa equação também não atende à condição requerida.
Passo 13
Diante das tentativas acima, fica claro que para garantir que
tende ao infinito quando
tende ao infinito, a taxa de crescimento de
em relação a
deve ser proporcional a
ou a uma função que não diminua rapidamente. Voltando à nossa primeira escolha:
Resolvendo essa equação, temos:
Agora, analisando o limite:
Perfeito! Essa equação satisfaz a condição
. Embora inicialmente pensássemos em uma equação exata, optamos por essa forma que garante o comportamento desejado.
Passo 14
Finalmente, para resolver a equação
usando equações exatas, podemos reescrever a equação na forma:
Aqui,
e
. Verificando a exatidão:
Como
, a equação não é exata. No entanto, podemos encontrar um fator integrante que dependa apenas de
ou
para torná-la exata. Vamos encontrar um fator integrante
tal que:
A condição para exatidão é:
Substituindo
e
:
Isso resulta em:
Resolvendo essa equação:
Podemos escolher
(ignorando a constante). Assim, multiplicamos a EDO original por
:
Agora, verificando a exatidão:
Portanto, a equação é exata. Integramos
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Finalmente, encontramos a função potencial:
Portanto, a solução implícita da EDO é:
Rearranjando
para
, temos:
Confirmando que
para qualquer
.
Resposta
A equação diferencial de primeira ordem constru��da é
. Resolvendo-a, obtemos que todas as soluções são da forma
, onde
é uma constante. Verificamos que, para qualquer valor de
, quando
tende ao infinito,
também tende ao infinito, ou seja,
.