Para cada um dos itens abaixo, construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de lim t infty y(t)=infty. Depois, resolva sua equação e confirme que todas as soluçõ̃es têm, de fato, a propriedade especificada.
  • c) Exata: resolva a EDO encontrando a função psi tal que psi(x, y)=c define implicitamente a solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente construir uma equação diferencial de primeira ordem que tenha todas as soluções tal que, quando vai para o infinito, também vai para o infinito. Além disso, na parte c), precisamos resolver essa equação diferencial usando o método de equações exatas, encontrando uma função que define implicitamente a solução da EDO. Para isso, vamos precisar entender o que são equações diferenciais de primeira ordem, o conceito de limite quando vai para o infinito, e o método das equações exatas.

Passo 2

Primeiro, vamos construir uma equação diferencial de primeira ordem. Uma equação diferencial de primeira ordem tem a forma geral:
dydt = f(t, y)
Queremos que todas as soluções dessa equação tenham a propriedade de que dydt = y . Isso significa que, conforme aumenta, também cresce sem limites.
Uma escolha simples para que garante que cresce à medida que aumenta é uma função positiva que depende de . Por exemplo, podemos escolher:
Essa é a equação diferencial diferencial mais básica que satisfaz essa condição.

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma:
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
é exata se existir uma função partial psipartial x = M e partial psipartial y = N tal que:
-y dt + dy = 0
No nosso caso, reescrevemos a equação partial Mpartial y = -1 e partial Npartial t = 0 na forma:
(2y)dx + (x)dy = 0
Aqui, partial Mpartial y = 2 e partial Npartial x = 1 e (y^2)dx + (2xy)dy = 0 . Para verificar se é exata, calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2y e partial Npartial x = 2y
Como , a equação não é exata nesse formato. Então, precisamos ajustar para torná-la exata ou escolher outra equação.
Para simplificar, vamos escolher outra equação que já seja exata. Por exemplo:
Aqui, e . Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Para tornar exata, podemos multiplicar por um fator integrante. Mas para facilitar, vamos escolher uma equação que já seja exata. Por exemplo:
Agora, calculamos:
Agora sim, , então a equação é exata.

Passo 4

Agora que temos uma equação exata psi(x, y) = c , vamos encontrar a função psi(x, y) = integral y^2 dx = y^2 x + h(y) tal que:
partial psipartial y = 2yx + h'(y) = 2xy
Para isso, integramos 2yx + h'(y) = 2xy implies h'(y) = 0 implies h(y) = constante em relação a psi(x, y) = y^2 x :
y^2 x = c
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Podemos ignorar a constante, então a função potencial é:
Portanto, a solução implícita da EDO é:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação y^2 = cx implies y = raizcx para encontrar y(t) = raizct em função de limt to infty y(t) = limt to infty raizct = 0 . Isolando :
Como é uma constante arbitrária, podemos reescrever em termos de (já que nossa variável independente é ):
Agora, vamos analisar o limite quando vai para o infinito:
Ops! Isso não satisfaz a condição requerida de . Parece que precisamos ajustar nossa equação diferencial.

Passo 6

Vamos reconsiderar nossa escolha inicial. A equação dydt = y^2 levou a soluções que tendem a zero, não infinita. Então, precisamos escolher uma equação diferencial diferente que garanta que cresça sem limites quando vai para infinito.
Vamos tentar uma equação mais simples:
Essa equação é conhecida e suas soluções aumentam sem limites quando se aproxima de um certo valor. Vamos resolver essa equação para verificar.

Passo 7

Resolvendo dyy^2 = dt , separamos as variáveis:
- 1y = t + C
Integrando ambos os lados:
y = -1t + C
Isolando limt to infty y(t) = limt to infty -1t + C = 0 :
Agora, analisamos o limite quando vai para infinito:
Mais uma vez, a solução tende a zero. Parece que precisamos de uma abordagem diferente para garantir que vai para infinito.

Passo 8

Vamos tentar uma equação onde a derivada de dydt = raizy seja proporcional a elevado a um expoente menor que 1. Por exemplo:
Vamos resolver essa equação e verificar o comportamento da solução.

Passo 9

Resolvendo dyraizy = dt , separamos as variáveis:
2raizy = t + C
Integrando ambos os lados:
raizy = t + C2 implies y = ( t + C2 )^2
Isolando limt to infty y(t) = limt to infty ( t + C2 )^2 = infty :
Agora, analisamos o limite quando vai para infinito:
Prontinho! Essa equação diferencial satisfaz a condição requerida.

Passo 10

Agora, vamos verificar se essa equação é exata. A equação diferencial é:
dydt = raizy
Reescrevendo na forma diferencial:
- raizy dt + dy = 0
Aqui, partial Mpartial y = -12 y^-1/2 e partial Npartial t = 0 e (2y)dx - (x)dy = 0 .
Verificando a exatidão:
partial Mpartial y = 2 e partial Npartial x = -1
Como (y^3)dx + (x^2)dy = 0 , a equação não é exata. Então, vamos encontrar um fator integrante ou escolher outra equação.
Para simplificar, vamos optar por uma equação que já seja exata. Por exemplo:
partial Mpartial y = 3y^2 e partial Npartial x = 2x
Verificando a exatidão:
Ainda não é exata. Para tornar exata, precisamos de um fator integrante. Porém, para evitar complicações, vamos escolher uma equação já exata, como:
Verificando:
Não exata novamente. Parece que estamos tendo dificuldades para encontrar uma EDO exata que satisfaça a condição inicial. Podemos reconsiderar nossa abordagem ou utilizar métodos alternativos.

Passo 11

Como estamos enfrentando dificuldades para encontrar uma equação exata que atenda às condições, vamos retornar à nossa segunda tentativa, mesmo que não seja exata. A equação dydt = e^y foi uma opção inicial, mas suas soluções tendem a zero. Portanto, precisamos ajustar nossa abordagem.
Optando por outra equação, por exemplo:
Vamos resolver essa equação e verificar o comportamento das soluções.

Passo 12

Resolvendo e^-y dy = dt , separamos as variáveis:
- e^-y = t + C
Integrando ambos os lados:
e^-y = - (t + C) implies y = -ln(- (t + C))
Isolando :
Para ser real, , então deve ser menor que . No limite , não está definido, então essa equação também não atende à condição requerida.

Passo 13

Diante das tentativas acima, fica claro que para garantir que dydt = y tende ao infinito quando dyy = dt implies ln |y| = t + C implies y = Ce^t tende ao infinito, a taxa de crescimento de limt to infty y(t) = limt to infty Ce^t = infty em relação a deve ser proporcional a ou a uma função que não diminua rapidamente. Voltando à nossa primeira escolha:
Resolvendo essa equação, temos:
Agora, analisando o limite:
Perfeito! Essa equação satisfaz a condição . Embora inicialmente pensássemos em uma equação exata, optamos por essa forma que garante o comportamento desejado.

Passo 14

Finalmente, para resolver a equação dy - y dt = 0 usando equações exatas, podemos reescrever a equação na forma:
partial Mpartial y = -1 e partial Npartial t = 0
Aqui, mu(t) ( -y dt + dy ) = 0 e d(mu M)dy = d(mu N)dt . Verificando a exatidão:
mu cdot (-1) = dmudt cdot 1
Como dmudt = -mu , a equação não é exata. No entanto, podemos encontrar um fator integrante que dependa apenas de mu(t) = Ce^-t ou e^-t dy - e^-t y dt = 0 para torná-la exata. Vamos encontrar um fator integrante partial (e^-t y)partial t = -e^-t y e partial (e^-t)partial y = 0 tal que:
psi(t, y) = integral -e^-t y dt = -y e^-t + h(y)
A condição para exatidão é:
partial psipartial y = -e^-t + h'(y) = e^-t Rightarrow h'(y) = e^-t + e^-t = constante
Substituindo psi(t, y) = -y e^-t + C e - y e^-t = C ou y = -C e^t :
y = C' e^t
Isso resulta em:
Resolvendo essa equação:
Podemos escolher (ignorando a constante). Assim, multiplicamos a EDO original por :
Agora, verificando a exatidão:
Portanto, a equação é exata. Integramos em relação a :
Derivando em relação a :
Finalmente, encontramos a função potencial:
Portanto, a solução implícita da EDO é:
Rearranjando para , temos:
Confirmando que para qualquer .

Resposta

A equação diferencial de primeira ordem constru��da é . Resolvendo-a, obtemos que todas as soluções são da forma , onde é uma constante. Verificamos que, para qualquer valor de , quando tende ao infinito, também tende ao infinito, ou seja, .

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