Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial com a condição inicial . Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos calcular as integrais em relação a e separadamente:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Note que é tratado como uma constante em relação a :
No lado direito, a integral de em relação a é:

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração e em uma única constante , temos:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo e na equação:

Passo 8

Substituímos na equação anterior:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para isolando-o na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial de valor inicial é:

Exercícios relacionados

Considere a integral dupla
onde é a região limitada pelas retas e . Calcule a integral usando a seguinte mudança de variáveis: .
Uma partícula move-se no plano de modo que no instante sua posição é dada por . Calcule o trabalho realizado pelo campo y) no deslocamento da partícula de até . Resolva de duas maneiras diferentes.
Para cada um dos itens abaixo, construa uma equação diferencial de primeira ordem tal que todas as soluções tenham a propriedade de . Depois, resolva sua equação e confirme que todas as soluçõ̃es têm, de fato, a propriedade especificada.
  • b) Separável: resolva a EDO separando as variáveis.
Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h) .