Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a) t dt + y e^(-t) dy = 0, y(0) = 1
(b) y' = t * y^3 * (1 + t^2)^(-1/2), y(0) = 1
© y' = (e^(-x) - e^(x)) / (3 + 4y), y(0) = 1
(d) sen(2x) dx + cos(3y) dy = 0, y(pi/2) = pi/3

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial com a condição inicial . Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem dos que envolvem . Podemos reescrever a equação da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos calcular as integrais em relação a e separadamente:

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Note que é tratado como uma constante em relação a :
No lado direito, a integral de em relação a é:

Passo 5

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração e em uma única constante , temos:

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para simplificar:

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo e na equação:

Passo 8

Substituímos na equação anterior:

Passo 9

Finalmente, resolvemos para isolando-o na equação:

Resposta

A solução da equação diferencial de valor inicial é:

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