Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de valor inicial
com a condição inicial
. Esse exercício pertence à matéria de Equações Diferenciais, mais especificamente de equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Isso significa que vamos calcular as integrais em relação a
e
separadamente:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo. Note que
é tratado como uma constante em relação a
:
No lado direito, a integral de
em relação a
é:
Passo 5
Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração
e
em uma única constante
, temos:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados da equação por 2 para simplificar:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
e
na equação:
Passo 8
Substituímos
na equação anterior:
Passo 9
Finalmente, resolvemos para
isolando-o na equação:
Resposta
A solução da equação diferencial de valor inicial é: