Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a) y'' + 2y' - 3y = 0
(e) y'' + 5y' = 0
(b) y'' + 3y' + 2y = 0
(f) 4 y'' - 9 y = 0
© 6 y'' - y' - y = 0
(g) y'' - 9y' + 9y = 0
(d) 2 y'' - 3 y' + y = 0
(h) y'' - 2y' - 2y = 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar determinar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

A equação característica para uma equação do tipo é . No nosso caso, e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e :
Portanto, as raízes são:

Passo 4

Como temos duas raízes reais e distintas ( ), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 5

Agora, vamos resolver . Essa também é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral encontrando as raízes da equação característica.

Passo 6

A equação característica é:

Passo 7

Fatorando:
Então, as raízes são:

Passo 8

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Passo 9

Vamos resolver . É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.

Passo 10

A equação característica é:

Passo 11

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto:

Passo 12

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Passo 13

Agora, vamos resolver . É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para achar a solução geral.

Passo 14

A equação característica é:

Passo 15

Resolvendo para :
Então, as raízes são:

Passo 16

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Passo 17

Vamos resolver . É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.

Passo 18

A equação característica é:

Passo 19

Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:

Passo 20

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Passo 21

Vamos resolver . Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.

Passo 22

A equação característica é:

Passo 23

Resolvendo a equação quadrática:
Portanto:

Passo 24

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:

Passo 25

Agora, vamos resolver . É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.

Passo 26

A equação característica é:

Passo 27

Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto:

Passo 28

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Passo 29

Por fim, vamos resolver . É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.

Passo 30

A equação característica é:

Passo 31

Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:

Passo 32

Com raízes reais e distintas, a solução geral é:

Resposta

A solução geral é .

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