Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
.
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para encontrar a solução geral, vamos precisar determinar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
A equação característica para uma equação do tipo
é
. No nosso caso,
e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Portanto, as raízes são:
Passo 4
Como temos duas raízes reais e distintas (
), a solução geral da equação diferencial é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 5
Agora, vamos resolver
. Essa também é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar a solução geral encontrando as raízes da equação característica.
Passo 6
A equação característica é:
Passo 7
Fatorando:
Então, as raízes são:
Passo 8
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Passo 9
Vamos resolver
. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.
Passo 10
A equação característica é:
Passo 11
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto:
Passo 12
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Passo 13
Agora, vamos resolver
. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para achar a solução geral.
Passo 14
A equação característica é:
Passo 15
Resolvendo para
:
Então, as raízes são:
Passo 16
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Passo 17
Vamos resolver
. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.
Passo 18
A equação característica é:
Passo 19
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então:
Passo 20
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Passo 21
Vamos resolver
. Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.
Passo 22
A equação característica é:
Passo 23
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto:
Passo 24
Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é:
Passo 25
Agora, vamos resolver
. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos encontrar as raízes da equação característica para determinar a solução geral.
Passo 26
A equação característica é:
Passo 27
Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto:
Passo 28
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Passo 29
Por fim, vamos resolver
. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos encontrar as raízes da equação característica para obter a solução geral.
Passo 30
A equação característica é:
Passo 31
Resolvendo a equação quadrática:
Então, as raízes são:
Passo 32
Com raízes reais e distintas, a solução geral é:
Resposta
A solução geral é
.