Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea e uma solução y1 da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
d) x y'' + (1 - 2 x) y' + (x - 1) y = e^x, x > 0, y1(x) = e^x;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é linear e não homogênea. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau em e uma solução da equação homogênea associada, que é . Para encontrar a solução geral da equação dada, vamos precisar usar métodos de solução para equações diferenciais lineares não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar ou o método de variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada. A equação original é:
A equação homogênea fica:
Sabemos que uma solução dessa equação é .

Passo 3

Como a equação é linear e não homogênea, a solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular da equação não homogênea. Ou seja:
ê

Passo 4

Já temos uma solução da equação homogênea, . Para encontrar outra solução da homogênea, vamos usar o método conhecido como redução de ordem. Assumimos uma segunda solução na forma , onde é uma função que precisamos determinar.

Passo 5

Calculamos as derivadas de :
Substituímos , e na equação homogênea:

Passo 6

Simplificamos a equação:
Cancelando termos semelhantes:
Dividindo por :

Passo 7

Resolvendo essa equação para :
Vamos fazer uma substituição: , então:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante.

Passo 8

A equação pode ser escrita como:
O fator integrante é:
Multiplicamos a equação por :
O lado esquerdo é a derivada de :
Integrando:
Então:
Lembrando que :
Integrando novamente:

Passo 9

Portanto, a segunda solução é:
Como estamos procurando uma solução independente linearmente, podemos desprezar o termo constante :

Passo 10

Agora que temos duas soluções da homogênea e , a solução geral da homogênea é:
ê

Passo 11

Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, podemos tentar uma solução da forma . Mas, como já é solução da homogênea, precisamos multiplicar por :
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando e resolvendo para , encontramos , mas para simplificar, adotamos a solução particular com .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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