Em cada um dos itens abaixo é dada uma EDO linear não-homogênea
uma solução
da equação homogênea associada. Determine em cada caso a solução geral da equação dada.
d)
;
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é linear e não homogênea. O enunciado nos dá uma equação do segundo grau em
e uma solução da equação homogênea associada, que é
. Para encontrar a solução geral da equação dada, vamos precisar usar métodos de solução para equações diferenciais lineares não homogêneas, como o método dos coeficientes a determinar ou o método de variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação homogênea associada. A equação original é:
A equação homogênea fica:
Sabemos que uma solução dessa equação é
.
Passo 3
Como a equação é linear e não homogênea, a solução geral será a soma da solução geral da equação homogênea mais uma solução particular da equação não homogênea. Ou seja:
Passo 4
Já temos uma solução da equação homogênea,
. Para encontrar outra solução da homogênea, vamos usar o método conhecido como redução de ordem. Assumimos uma segunda solução na forma
, onde
é uma função que precisamos determinar.
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação homogênea:
Passo 6
Simplificamos a equação:
Cancelando termos semelhantes:
Dividindo por
:
Passo 7
Resolvendo essa equação para
:
Vamos fazer uma substituição:
, então:
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos usar o fator integrante.
Passo 8
A equação
pode ser escrita como:
O fator integrante é:
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando:
Então:
Lembrando que
:
Integrando novamente:
Passo 9
Portanto, a segunda solução
é:
Como estamos procurando uma solução independente linearmente, podemos desprezar o termo constante
:
Passo 10
Agora que temos duas soluções da homogênea
e
, a solução geral da homogênea é:
Passo 11
Para encontrar a solução particular da equação não homogênea, podemos tentar uma solução da forma
. Mas, como
já é solução da homogênea, precisamos multiplicar por
:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na equação original:
Simplificando e resolvendo para
, encontramos
, mas para simplificar, adotamos a solução particular
com
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.