Ache a linearização de f(x) = raiz(3)(1 - x) em a = 0 e use essa expressão para aproximar raiz(0.95) e raiz(1.05).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função no ponto e, com essa expressão, aproximar e .
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de linearização de funções.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é linearização.
  • Calcular derivadas.
  • Aplicar a fórmula da linearização.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearização. A linearização de uma função em um ponto é uma aproximação linear (reta) que “toca” a função nesse ponto. Basicamente, é a reta tangente à função no ponto .
A fórmula da linearização de uma função no ponto é:
Aqui, é a derivada de avaliada em .

Passo 3

Vamos calcular e para a nossa função no ponto .
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada . A função . Usando a regra do poder para derivadas:

Passo 5

Vamos calcular :

Passo 6

Agora que temos e , substituímos na fórmula da linearização:
Então, a linearização de em é:

Passo 7

Com a linearização em mãos, vamos usar essa expressão para aproximar e .
Observação Importante: A função original foi , que é a raiz cúbica. Entretanto, as aproximações pedidas são para a raiz quadrada. Talvez tenha havido um erro no enunciado, mas vamos continuar com a função dada.
Para aproximar e usando a linearização , precisamos relacionar as expressões.
Vamos considerar que:
No entanto, isso não se alinha diretamente com a fun��ão dada. Se assumirmos que há um erro e a função deveria ser , poderíamos prosseguir. Mas seguindo o enunciado original:

Resposta

A linearização de em é:
Usando essa expressão para aproximar e :
Nota: Devido à possível inconsistência entre a função fornecida e as aproximações solicitadas, recomenda-se verificar o enunciado do exercício para confirmar se a função correta é ou .

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