Ache a linearização de
em
e use essa expressão para aproximar
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a linearização da função
no ponto
e, com essa expressão, aproximar
e
.
Matéria envolvida: Cálculo Diferencial, especificamente o conceito de linearização de funções.
O que vamos precisar:
- Entender o que é linearização.
- Calcular derivadas.
- Aplicar a fórmula da linearização.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é linearização. A linearização de uma função em um ponto
é uma aproximação linear (reta) que “toca” a função nesse ponto. Basicamente, é a reta tangente à função no ponto
.
A fórmula da linearização
de uma função
no ponto
é:
Aqui,
é a derivada de
avaliada em
.
Passo 3
Vamos calcular
e
para a nossa função
no ponto
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada
. A função
. Usando a regra do poder para derivadas:
Passo 5
Vamos calcular
:
Passo 6
Agora que temos
e
, substituímos na fórmula da linearização:
Então, a linearização de
em
é:
Passo 7
Com a linearização em mãos, vamos usar essa expressão para aproximar
e
.
Observação Importante: A função original foi
, que é a raiz cúbica. Entretanto, as aproximações pedidas são para a raiz quadrada. Talvez tenha havido um erro no enunciado, mas vamos continuar com a função dada.
Para aproximar
e
usando a linearização
, precisamos relacionar as expressões.
Vamos considerar que:
No entanto, isso não se alinha diretamente com a fun��ão dada. Se assumirmos que há um erro e a função deveria ser
, poderíamos prosseguir. Mas seguindo o enunciado original:
Resposta
A linearização de
em
é:
Usando essa expressão para aproximar
e
:
Nota: Devido à possível inconsistência entre a função fornecida e as aproximações solicitadas, recomenda-se verificar o enunciado do exercício para confirmar se a função correta é
ou
.