Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma série de potências que represente a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são muito úteis para representar funções em forma de séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
Essa série converge quando
. Nosso objetivo é manipular a função
para que ela se pareça com a forma da série geométrica.
Passo 3
Observe que
pode ser escrita como:
Aqui, a parte
já está na forma da série geométrica, onde
.
Passo 4
Agora, substituímos
pela
na série geométrica:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 5
Finalmente, determinamos o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de potências que representa
é
e o raio de convergência dessa série é 1.
Exercícios relacionados
Considere a função
e a função vetorial
(a) Determine o domínio de
.
Encontre a série de Taylor de
em torno do ponto
.
Considere a função
e a função vetorial
(b) Calcule o limite de
quando
, ou mostre que o limite não existe.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: