Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = x^2 / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma série de potências que represente a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de séries geométricas, que são muito úteis para representar funções em forma de séries de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série geométrica:
Essa série converge quando . Nosso objetivo é manipular a função para que ela se pareça com a forma da série geométrica.

Passo 3

Observe que pode ser escrita como:
Aqui, a parte já está na forma da série geométrica, onde .

Passo 4

Agora, substituímos pela na série geométrica:
Multiplicando ambos os lados por , temos:

Passo 5

Finalmente, determinamos o raio de convergência. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências que representa é
e o raio de convergência dessa série é 1.

Exercícios relacionados

Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(a) Determine o domínio de r.
Encontre a série de Taylor de f em torno do ponto x0 = 0.
Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(b) Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 / 3 11+x^6 d x