Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(b) Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial onde é definida de forma diferente para e . Nosso objetivo aqui é calcular o limite dessa função vetorial quando se aproxima de 0. Para isso, vamos analisar o limite de cada componente da função vetorial separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente, , quando se aproxima de 0. A raiz quadrada é uma função contínua, então podemos simplesmente substituir por 0:

Passo 3

Agora, vamos olhar para a segunda componente, . A função é definida como:
Precisamos encontrar o limite de quando se aproxima de 0. Vamos analisar pelos lados:
  • Quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
  • Quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( e respectivamente), o limite de quando se aproxima de 0 não existe.

Passo 4

Por fim, vamos calcular o limite da terceira componente, , quando se aproxima de 0. A função logarítmica é contínua, então substituímos diretamente:

Resposta

Como o limite da segunda componente não existe quando se aproxima de 0, o limite da função vetorial não existe.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = x^2 / (1 - x^2)
Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(a) Determine o domínio de r.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 / 3 11+x^6 d x
A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio R é 1 / R.