Considere a função
e a função vetorial
(b) Calcule o limite de
quando
, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
onde
é definida de forma diferente para
e
. Nosso objetivo aqui é calcular o limite dessa função vetorial quando
se aproxima de 0. Para isso, vamos analisar o limite de cada componente da função vetorial separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o limite da primeira componente,
, quando
se aproxima de 0. A raiz quadrada é uma função contínua, então podemos simplesmente substituir
por 0:
Passo 3
Agora, vamos olhar para a segunda componente,
. A função
é definida como:
Precisamos encontrar o limite de
quando
se aproxima de 0. Vamos analisar pelos lados:
-
Quando
se aproxima de 0 pela direita ( ): -
Quando
se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes (
e
respectivamente), o limite de
quando
se aproxima de 0 não existe.
Passo 4
Por fim, vamos calcular o limite da terceira componente,
, quando
se aproxima de 0. A função logarítmica é contínua, então substituímos diretamente:
Resposta
Como o limite da segunda componente
não existe quando
se aproxima de 0, o limite da função vetorial
não existe.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Considere a função
e a função vetorial
(a) Determine o domínio de
.
Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo:
A curvatura de uma curva
um dado ponto
é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em
e é dada por
onde
é o vetor tangente unitário em
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio é
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio