Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de
de 0 a
usando séries de potências. Isso envolve entender como expandir a função em uma série e integrar termo a termo para obter uma aproximação com quatro casas decimais.
Passo 2
Para usar séries de potências, vamos começar reescrevendo a função
de uma forma que possamos expandi-la como uma série geométrica. Sabemos que:
Isso nos permite usar a fórmula da série geométrica, que é válida para
:
No nosso caso,
, então:
Passo 3
Agora que temos a função expressa como uma série de potências, podemos integrar termo a termo no intervalo de 0 a
. A integral fica assim:
Integrando
, obtemos:
Então, a integral se torna:
Passo 4
Vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 0,00005 (para garantir quatro casas decimais de precisão).
Calculando para
a
:
-
n = 0:
-
n = 1:
-
n = 2:
Percebo que os termos a partir de
são muito pequenos e não afetam as quatro casas decimais.
Resposta
A aproximação da integral
usando séries de potências é aproximadamente 0.3333.
Exercícios relacionados
Considere a função
e a função vetorial
(b) Calcule o limite de
quando
, ou mostre que o limite não existe.
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
A curvatura de uma curva
um dado ponto
é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em
e é dada por
onde
é o vetor tangente unitário em
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio é
.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio
A curvatura de uma curva
um dado ponto
é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em
e é dada por
onde
é o vetor tangente unitário em
.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida em
.
(b) Determine a curvatura da cúbica retorcida