Use séries de potências para obter uma aproximação, com quatro decimais, de cada uma das integrais abaixo: integral0^1 / 3 11+x^6 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida de de 0 a usando séries de potências. Isso envolve entender como expandir a função em uma série e integrar termo a termo para obter uma aproximação com quatro casas decimais.

Passo 2

Para usar séries de potências, vamos começar reescrevendo a função 11 + x^6 = 11 - (-x^6) de uma forma que possamos expandi-la como uma série geométrica. Sabemos que:
11 - r = sumn=0^infty r^n
Isso nos permite usar a fórmula da série geométrica, que é válida para 11 + x^6 = sumn=0^infty (-x^6)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^6n :
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora que temos a função expressa como uma série de potências, podemos integrar termo a termo no intervalo de 0 a integral0^1/3 11 + x^6 dx = integral0^1/3 sumn=0^infty (-1)^n x^6n dx = sumn=0^infty (-1)^n integral0^1/3 x^6n dx . A integral fica assim:
integral x^6n dx = x^6n + 16n + 1
Integrando sumn=0^infty (-1)^n6n + 1 ( 13 )^6n + 1 , obtemos:
Então, a integral se torna:

Passo 4

Vamos calcular os primeiros termos dessa série até que a contribuição de termos adicionais seja menor que 0,00005 (para garantir quatro casas decimais de precisão).
Calculando para (-1)^06(0) + 1 ( 13 )^6(0) + 1 = 11 times 13 = 0.3333 a (-1)^16(1) + 1 ( 13 )^6(1) + 1 = -17 times 13^7 approx -0.0006 :
  • n = 0:
    (-1)^26(2) + 1 ( 13 )^6(2) + 1 = 113 times 13^13 approx 0.0000
  • n = 1:
  • n = 2:
Percebo que os termos a partir de são muito pequenos e não afetam as quatro casas decimais.

Resposta

A aproximação da integral usando séries de potências é aproximadamente 0.3333.

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Considere a função f(t) = { arctg(1/t), se t ≠ 0; 0, se t = 0 } e a função vetorial
r(t) = <raiz(t + 1), f(t), ln(t^2 + 1)>
(b) Calcule o limite de r quando t -> 0, ou mostre que o limite não existe.
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = x^2 / (1 - x^2)
A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
(a) Mostre que a curvatura de um círculo de raio R é 1 / R.
A curvatura de uma curva gamma em um dado ponto t é a medida de quão rapidamente a curva muda de direção em t e é dada por
kappa(t)=|T^prime(t)||r^prime(t)|=|r^prime(t) times r^prime prime(t)||r^prime(t)|^3
onde T(t) é o vetor tangente unitário em t.
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